WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:     | 1 ||

«Кафедра «Графика» Л. И. Громов, А. И. Коровкин, В. Л. Николаев Утверждено редакционно-издательским советом института УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Если обе скрещивающиеся прямые являются прямыми общего положения, то для определения расстояния между ни­ ми прибегают к такому преобразованию эпюра, в результате которого одна из заданных прямых оказывается перпендику­ лярной к плоскости проекции.

Решение такой задачи на рис. 280 выполнено двойной заменой плоскостей проекций.

Расстояние ejfх между проекциями прямых АВ и CD на плоскости Hi определяет расстояние между прямыми [33].

Эта же задача может быть решена и способом вращения.

В этом случае производят преобразования эпюра, в резуль­ тате которого одна из проекций скрещивающихся прямых преображается в точку [140].

'. „Д, Рис. 280..

155 д) Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки-до плоскости измеряется длиной пер­ пендикуляра. опущенного из данной точки на данную плос­ кость. Это расстояние проектируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, относительно которой заданная плоскость является проектирующей [109]. Поэтому и решение задачи сводится к такому преобразованию эпюра, в резуль­ тате которого заданная плоскость становится проектирующей На рис. 281 расстояние от точки А до плоскости Р опреде­ лено заменой плоскостей проекций [127].

Расстояние между а / и К / равно искомому [109]. Та же задача на рис. 282 решена способом вращения.

Проведя для сокращения геометрических построений ось Пь лежащую в плоскости V, плоскость Р и точку А повернули вокруг этой оси в положение, когда плоскость Р стала фрон­ тально-проектирующей [145]. Длина перпендикуляра, опущен­ ного из а / на Ру,. определила расстояние от точки А до плос­ кости Р [109].

Рис. 282.

–  –  –

Определение углов 157 а) Угол между двумя пересекающимися прямыми Если плоскость, определяемую двумя пересекающимися прямыми, расположить параллельно плоскости проекций, то на эту плоскость проекции угол между пересекающимися пря­ мыми спроектируется в натуральную величину [63].

Отдельные приемы, используемые при определении угла между пересекающимися прямыми, могут сократить объем геометрических построений. Так, на рис, 285 задача решена вращением вокруг горизонтали I—II [147].

*7

–  –  –

158 б) Угол между двумя скрещивающимися прямыми Этот угол измеряется углом между пересекающимися пря­ мыми, параллельными данным скрещивающимся прямым. Та­ ким образом, задача сводится к определению угла между пе­ ресекающимися прямыми [157].

ПО /59 в) Угол между прямой и плоскостью В § 29 рассмотрено построение проекций угла между пря­ мой и плоскостью [118]. Для определения истинной величины угла наклона прямой АВ к плоскости треугольника КI,.\\ (рис.

220) достаточно определить любым из известных способов величину треугольника AEF [102, 146, 147].

Однако решение задачи может быть упрощено, если вели­ чину искомого угла а (рис. 286) определять через угол,допол­ няющий его до прямого.

Рис. 2SG. Рис. 287.

Действительно, угол а — 90°—р, а угол р есть угол между прямой АВ и перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость Р. Определив величину угла р [157], строят угол дополняющий его до 90°. который и определяет величину ис­ комого угла а..

На рис. 287 приведены построения, выполненные при опре­ делении угла наклона прямой АВ к плоскости Р.

Для решения задачи: а) из точки А на плоскость Р опу­ щен перпендикуляр [108], 6) определена величина угла между прямой АВ и перпендикуляром [157], в) построен угол а, до­ полняющий угол р до прямого.

160 г) Угол между двумя плоскостями Две плоскости Р и Q, пересекаясь, образуют четыре попар­ но равных двугранных угла (рис. 288), Каждый из этих углов измеряется линейным углом, плоскость которого перпендику­ лярна к липни пересечения плоскостей Р и.Q, как к ребру дву­ гранного угла.

П!

Если из некоторой точки К. не лежащей в данных плоско­ стях, опустить на плоскости Р и Q перпендикуляры, то плос­ кость R, определяемая ими, будет перпендикулярна к каждой из плоскостей и к линии их пересечения. Так как КМ 1АВ, а KN.L ВС, угол ф1=ф7.

Равенством этих углов обычно и пользуются при определе­ нии угла между плоскостями На рис. 289 для определения угла между плоскостями Р и Q из произвольной точки А опущены перпендикуляры к этим плоскостям.

Рис. 288. Рис 289.

Если угол между перпендикулярами дополнить до 180°, то он и определит величину угла между плоскостями.

В том случае, когда две пересекающиеся плоскости заданы многоугольниками с общей для них стороной, что характерно для смежных граней многогранников, то задача на определе­ ние угла между плоскостями обычно решается путем преобра­ зования эпюра.

Так, на рис. 290 величина двугранного угла, образованного треугольниками АВС и ABD, определена способом замены плоскостей проекций. Двойной заменой плоскостей проекции линии АВ—ребро двугранного угла, преобразована в точку [126]. Плоскость Н], перпендикулярная к АВ, параллельна сторонам линейного угла, которым измеряется искомый дву­ гранный угол.

Определение величины двугранных углов, образованных плоскостью общего положения с плоскостями проекций, было рассмотрено ранее [73, 127, 142].

–  –  –

Построение проекций плоских фигур по данным условиям 161 При решении ряда задач возникает необходимость по­ строения проекций плоской фигуры по заданным условиям.

Па рис. 291 построены проекции равностороннего треу­ гольника АВС, лежащего в плоскости Р, по заданной горизон­ тальной проекции его стороны АС.

Построение проекций треугольника по заданным услови­ ям сводится к построению его вершин [68]. " Горизонтальные проекции вершин А и С даны. Фронталь­ ные проекции а' и с' построены из условия, что точки А и С лежат в плоскости Р, а прямая АС параллельна плоскости проекций П [70]. Для построения проекций вершины В плос­ кость Р с лежащей в ней прямой АС совмещена с плоскостью проекций Н [149] и на Aj Cj построен равносторонний треу­ гольник А 1В ! С 1.

Зная совмещенное с плоскостью Н положение третьей вер­ шины треугольника, через точку В проведена горизонталь BjMi в совмещенном положении.

Обратным вращением плоскости Р вместе с горизонталью п точкой В в первоначальное положение найдены проекции вершины В.

Горизонтальная проекция точки 1 при обратном вращении плоскости перемещалась по перпендикуляру к Р„ и отмечена на горизонтальной проекции горизонтали. Проекция Ъ' отме­ чена на фронтальной проекции горизонтали ВДВ

Ч

Рис. 201.

МНОГОГРАННИКИ

§ 37. Основные понятия. Проекции многогранников, 162 Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками — гранями; их стороны называются ребра­ ми, а вершины — вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он располагает­ ся по одну сторону от плоскости любой его грани; в этом слу­ чае каждая грань представляет собой выпуклый многоуголь­ ник.

163 Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его вершин, ребер и граней, то есть точек, прямых линий и плоских фигур.

Определение на эпюре видимости ребер и граней много­ гранника сводится к определению относительной видимости конкурирующих точек па скрещивающихся прямых [49].

Так, для определения видимости ребер и граней пирамиды SABC относительно плоскости V рассмотрена видимость то­ чек I и II, принадлежащих скрещивающимся ребрам SC и АВ;

видимость точек III и IV, лежащих на скрещивающихся реб­ рах SB и АС, определит видимость ребер и граней пирамиды относительно плоскости II.

Направление проектирующих прямых показано стрелками.

Рис. 292. Аналогично определена видимость ребер и граней призмы ABC CjAiBi. Рис 293.

§ 38. Пересечение многогранников плоскостью 164 Сечение многогранника плоскостью представляет собой многоугольник. Рис. 294.

–  –  –

Точки I, II, III пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью Р являются вершинами этого многоугольника, а его сторонами: 1 -II, II III, III I — линии пересечения секу­ щей плоскости с плоскостями граней многогранника.

Следовательно, задачу на построение сечения многогран­ ника плоскостью можно решить двумя способами:

1) определить точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (способ ребер);

2) построить линии пересечения секущей плоскости с пло­ скостями граней многогранника (способ граней).

Способ ребер сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью; способ граней — к построению линии пересечения двух плоскостей.

165 Наиболее простыми являются случаи, когда секущая плос­ кость— проектирующая. Рис. 295, 296.

Решение задачи сводится к определению вершин фигуры сечения I, II, III, IV. являющихся точками встречи прямых (ребер многогранника) с проектирующей плоскостью [81, 80].

Пв Соединив между собой точки, принадлежащие одной и той же грани, получают фигуру сечения многогранника. Видимыми будут те стороны многоугольника сечения, которые проходят по видимым граням многогранника [163].

На рис. 297 точка I определена способом ребер [164], как точка пересечения прямой SA с плоскостью R [101]. Этим же способом может быть построена и точка II. Но в данном слу­ чае проще применить способ граней [164], то есть построить линию пересечения плоскостей R и S'AC. Эта линия пройдет через точку I и точку Mi пересечения R H и АС — горизонталь­ ных следов данных плоскостей и, пересекаясь с ребром SC, оп­ ределит точку II.

Аналогично построена и точка III.

167 Построение сечения многогранника плоскостью общего по­ ложения в некоторых случаях связано с громоздкими графи­ ческими построениями. Упрощение решения задачи может быть осуществлено путем преобразования эпюра.

Пусть, например, требуется построить сечение пирамиды SABC плоскостью, заданной пересекающимися прямыми DE и EF. Рис. 298. ‘ Способом перемены плоскостей проекций данный эпюр V, преобразован в систему — в которой секущая плоскость ста­ р ла фронтально-проектирующей; DG L V; [127], а затем обрат­ ным преобразованием получены проекции сечения I II—III — V • 1 * У в системе — [165].

— Н § 39. Пересечение прямой линии с многогранником 168 Построение точек К и I. пересечения прямой DE с поверх­ ностью многогранника SABC сводится к определению точек пересечения этой прямой со сторонами многоугольника!- 1I-— Ш П, полученного от пересечения данного многогранника вспомогательной секущей плоскостью R, проходящей череа данную прямую. Рис. 299 [164].

Рис. 299.

169 При решении задач на построение точек пересечения пря­ мой линии с многогранником количество графических по­ строений зависит от положения вспомогательной секущей пло­ скости.

В любом случае задача может быть решена с помощью одной из проектирующих плоскостей.

Так, на рис. 300 точки К и L пересечения прямой FG с пи­ рамидой определены с помощью фронтально-проектирующей плоскости R. пересекающей пирамиду по пятиугольнике 1 II

- -Ill IV—V [165].

Для определения точек К и L пересечения прямой FG с призмой использована горизонтально проектирующая плос­ кость S, пересекающая призму по пятиугольнику I—11—111— —IV—V. Рис. 301. 1 Видимость прямой на плоскостях V и Н относительно пе­ ресекаемого ею многогранника определяется при помощи коккурирующих точек на скрещивающихся прямых [49].

Рис. 300. Рис. 301.

170 Не меняя условия задач, представленных на рис. 300 и 301, можно вместо пятиугольников, полученных при пересечении многогранников проектирующими плоскостями, построить в первом случае- - треугольник, во втором — параллелограмм.

Это станет возможным, если секущая плоскость будет про­ ходить; в первом случае — через вершину пирамиды, во вто­ ром — параллельно боковым ребрам призмы.

Такие плоскости называются простейшими секущими.

Таким образом, для пирамиды простейшая секущая пло­ скость оказывается заданной: точкой — вершиной S пирамиды if данной прямой FG. Рис. 302 [55], Точки I и II (рис. 302, 303) будут принадлежать линии пе­ ресечения простейшей секущей плоскости R с плоскостью ос­ нования пирамиды. Построение этой линии сводится к опреде лению точек встречи М и N двух пересекающихся прямых FG и ST секущей плоскости с плоскостью основания Р [81]. Точ­ ка Т взята произвольно на прямой FG.

171 Для призмы простейшая секущая плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми: данной прямой FG и пря­ мой РМ, параллельной боковым ребрам призмы [99].

Эта плоскость пересечет боковые грани призмы по прямым I—IV и II—III, параллельным их боковым ребрам. Рис. 304 и 305.

Для построения прямых I- IV и II—III достаточно опреде­ лить точки I и II, принадлежащие основанию призмы. Для этого необходимо построить линию пересечения секущей плос­ кости 8 с плоскостью Т основания призмы [89]. Искомые точ­ ки К и F определяются пересечением данной прямой FG со сторонами фигуры сечения I - IV и II—III [168].

д.

Рис. 304.

172 Применение простейшей секущей плоскости, как видно из приведенных примеров [170, 171], связано с необходимостью построения линии ее пересечения с плоскостью основания мно­ гогранника.

Пели же основание лежит в плоскости общего положения, то построение этой линии окажется громоздким [91].

Следовательно, использование простейших секущих плос­ костей для построения точек пересечения прямой с поверхно­ стью многогранника целесообразно только в тех случаях, ког­ да основание лежит либо в проектирующей плоскости, либо в одной из плоскостей проекций.

§ 40. Взаимное пересечение многогранников 173 Два многогранника пересекаются по пространственным замкнутым ломаным линиям I II — III IV V VI VII—I или в частных случаях -п о плоским многоугольникам VIII — — IX -X. Рис. 306.

Вершины этих линий представляют собой точки пересече­ ния ребер одного многогранника с гранями другого, а звенья— линии взаимного пересечения граней обоих многогранников.

Следовательно, для построения.t i Hiiiii пересечения двух м но го гр а нников сл е ту ет:

Рис. 306. Рис. 307.

а) определить точки пересечения ребер каждого из мно­ гогранников с гранями другого:

б) соединить точки принадлежащие одновременно двум пересекающимся граням обоих многогранников.

Таким образом, решение задачи сводится к определению точек пересечения прямой с поверхностью многогранника [168J.

174 Если основания многогранников расположены в разных плоскостях, то в качестве вспомогательных целесообразно применять проектирующие плоскости [169].

Задача, представленная на рис.

307, решена следующим образом:

а) построены точки I, II, III, IV пересечения ребер пира­ миды с гранями призмы, как точки пересечения прямых SA и SC с горизонтальпо-проектпрующими плоскостями DFDiFi и F E F 1E 1 [80], затем определены точки VI и VII пересечения реб­ ра FFi призмы с гранями пирамиды; построение произведено с помощью горизоптально-проектирующей плоскости R, про­ ходящей через прямую FFj и пересекающую пирамиду по тре­ угольнику II—III—V.

То, что ребро SB пирамиды, а также ребра DD, и EEi призмы в пересечении не участвуют, в данном случае оче­ видно; *

б) соединены между собой точки, попарно определяю­ щие линии пересечения двух граней многогранников: напри­ мер, точки I и VII определяют линию пересечения грани SAB пирамиды с гранью DFD!?) призмы и т. п.

Видимы те звенья линчи пересечения, которые принадле­ жат двум видимым граням обоих многогранников.

175 На рис. 308 дан еще один пример на построение линии пе­ ресечения многогранников. Решение заданной задачи услож­ нено тем, что прямая призма, представленная на рис. 307, з а ­ менена наклонной.

Построение линии пересечения так же, как и в предыдущем случае, произведено с помощью вспомогательных проектирую­ щих плоскостей.

1) Так, точки пересечения ребер пирамиды с поверхно­ стью призмы определены при помощи фронтально-проектируЮ1цих плоскостей S, Т, U. Плоскость S, проведенная через ребро SA, пересекает призму по треугольнику I—II—III; та­ ким образом, ребро SA пепесекается в одном случае — с реб­ ром (точка 1), в другом—с гранью EE,F|F (точка IV) призмы.

Отсутствие общих точек у ребра SB и треугольника V—VI— —VII, полученного в результате пересечения призмы плоско­ стью Т, проходящей через ребро SB, означает, что последнее с призмой не пересекается.

Однако в данном случае сделать такой вывод без указан­ ного построения не представляется возможным (сравн. с по­ ложением ребра SB на рис. 307, где это очевидно), С помощью плоскости U, проведенной через ребро SC и пересекающей призму по треугольнику VIII IX- X, найдены точки XI и XII пересечения ребра SC с гранями призмы.

Для определения точек пересечения ребер призмы с поверх­ ностью пирамиды использованы горизонтально-проектирующие плоскости Р, R, N Плоскость Р, проведенная через реб­ ро DDb пересекает пирамиду по треугольнику I — К—L, с ко­ торым ребро DD! имеет одну общую точку I.

N,

Рис. ЗОЯ.

Точки XVI и XVII пересечения ребра FF] с пирамидой оп­ ределены с помощью горизонтально-ироектирующей плоскос­ ти R, пересекающей пирамиду по треугольнику XIII—XIV—XV.

Ребро Е Е ( призмы в пересечении не участвует, так как оно не пересекается с треугольником XIX—XX—XXI, являющимся сечением пирамиды горнзонтлльно-проектирующей плоско­ стью N, проходящей через ребро ЕЕ,.

2) Методика соединения вершин линии пересечения, а также определение видимости ее«евепьев ничем не отличается от предыдущего случая [174].

176 Для построения линии пересечения двух многогранников— наряду с проектирующими плоскостями могут применяться и простейшие секущие плоскости. Этими плоскостями целесо­ образно пользоваться в том случае, когда основания много­ гранников лежат в одной и той же проектирующей плоскости или в одной из плоскостей проекций [172].

177 Взаимное пересечение двух пирамид. Рис. 309.

При взаимном пересечении двух пирамид, каждая из про­ стейших секущих плоскостей определяется ребром одного многогранника и вершиной другого [170]. Следовательно, все простейшие секущие плоскости пройдут через прямую SSj, соединяющую вершины пирамид.

s;

Прямая SSi пересечет плоскость, в которой лежат основа­ ния обоих многогранников в некоторой точке М. Следователь­ но, через точку М пройдут все линии пересечения простейших секущих плоскостей с плоскостью оснований.

В данном примере одной из таких линии является гори­ зонтальный след R„ простейшей секущей плоскости R, прове­ денный через ребро SA пирамиды SABC и вершину S, пира­ миды S'jDEF. След R,, проходит через точки М н А — гори­ зонтальные следы пересекающихся прямых S S t и SA плоско­ сти R. Плоскость R пересекает пирамиду S'jDEF по треуголь­ нику Si —I — II, на сторонах которого лежат искомые точки К и I. встречи ребра SA с поверхностью пирамиды SyDEF [168].

Аналогично определяются точки пересечения всех ребер каждого из многогранников с гранями другого, (Эти построе­ ния не показаны).

В частном случае, когда координаты Z вершин пирамид равны между собой, прямая S S ; будет горизонтальной прямой.

Следовательно, горизонтальные следы простейших секущих плоскостей окажутся параллельными ее горизонтальной про­ екции [70].

. Если при использовании проектирующих плоскостей вопрос об участии в пересечении того или иного ребра в общем случае- приходилось решать, прибегая к построению сечения 1175], то при использовании простейших секущих плоскостей он решается с минимальным количеством графических по­ строений. Так, возвращаясь к рис. 309, заметим, что горизон­ тальный след Q„ плоскости Q, проведенной через ребро S ;D, не пересекает сторон основания АВС; следовательно, ребро SD, с пирамидой SABC не пересекается.

Тот же вывод справедлив и относительно ребра SjF. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно провести след секу­ щей плоскости через точки m и f.

78 Взаимное пересечение пирамиды и призмы. Рис. 310.

При взаимном пересечении пирамиды и призмы каждая из простейших секущих плоскостей должна проходить через вер­ шину пирамиды [170] и быть параллельной боковым ребрам призмы [171]. 1 Следовательно, все простейшие секущие плоскости будут пересекаться по прямой SM, проходящей через вершину пи­ рамиды и параллельной боковым ребрам призмыТак же как и в предыдущем случае, все линии пересечения секущих плоскостей с плоскостью оснований Т пройдут через точку М пересечения прямой SM с плоскостью Т.

Так, например, прямая AM является линией пересечения плоскости Т и простейшей секущей плоскости, проведенной через ребро призмы ААЬ Эта линия пересекает основание пи­ рамиды в Iочках I и II.

На сторонах треугольника сечения S I II лежат искомые точки III и IV пересечения ребра призмы АА^ с гранями*'пи­ рамиды.

Ребра призмы ВВ] и CCi с поверхностью пирамиды не пе­ ресекаются, в чем легко убедиться, проведя следы секущих плоскостей через точки m и Ь, а также m и С.

Рис. 310.

Ребро пирамиды SD с поверхностью призмы не пересека­ ются. Простейшая секущая плоскость, проведенная через реб­ ро SE пирамиды, пересечет призму по прямым V—VII и VI— —VIII, параллельным ее боковым ребрам. На них располо­ жатся искомые точки VII и V 11Г пересечения ребра SE с гра­ нями призмы.

. Аналогично найдены точки XI и XII пересечения ребра SF пирамиды с поверхностью призмы.

Пространственная замкнутая ломаная линия III—VIII — —X II.. IV—XI—VII—III является линией пересечения двух многогранников.

179 Взаимное пересечение двух призм. Рис. 311 При взаимном пересечении двух призм каждая из простей­ ших секущих плоскостей, проходящая через ребро одного из многогранников, должка быть параллельна боковым ребрам другого [171].

Так, секущая плоскость S определяется двумя пересекаю щи мне я прямыми: ребром ААЬ «сред которое она проходит, и прямой AjM, параллельной DD).

Построив линию пересечения плоскости S с плоскостью ос­ нований, в данном случае горизонтальный след S H опре­ деляют точки III и 1\ пересечения ребра SA с поверхностью другой призмы [108].

Решая аналогичную задачу для других ребер, заметим, что все простейшие секущие плоскости будут взаимно параллель­ ны, так как каждая из них параллельна боковым ребрам обеих призм.

Из параллельности этих плоскостей следует параллельность

–  –  –

181 Проекция кривом линии определяется совокупностью одно, именных* проекции ее точек (рис. 312) или как линия Переса чения плоскости проекций с некоторой цилиндрической н] о верхностыо, определяемой совоку.тю..стыо '-проходящих aepq данную ьпмщ.уто ирпектпру.ющпх лучей.

Проекцией кривой в общем стучае является кривая линия Проекции точки, лежащей на кривой, расположены на о| поименных проекциях этой кривой линии.

В общем случае касательная it Кривой лиши 1 |нх-кгнруетс| в касательную к-проекции этой критой. Рис. 312. ’ Положение; кривой в |*р о’Я а iicjjie Iаналогично шчке1 прямой) определяется двумя ее проекциями -как линия п й ресечения двух проектирующих цилиндрических поверхностей, проходящих через проекции кривой. Рис. 313. ‘ 182 При построении проекций кривой необходимо построить проекции ее характерных точек. К ним относятся: '

1) точки наиболее удаленные от плоскостей проекций и наиболее близкие к ним (рис. 314). Так, точка С кривой АСОВ ближе других расположена к плоскости Н, а точка D-— даль­ ше других удалена от плоскости Y;

–  –  –

б) точка возврата первого (рис. 316) и точка возврата второго рода (рис. 317), в которых касательные для обеих ветвей кривой совпадают;

в) точка узловая, в которой кривая пересекает сама себя.

Рис. 318;

г) точка самоприкосновения, в которой кривая касается сама себя (рис. 319), и другие.

–  –  –

§ 42. Плоские кривые линии 183 Порядок закономерной алгебраической плоской кривой, определяемый степенью ее уравнения, устанавливается макси­ мальным числом точек пересечения этой кривой с прямой ли­ нией, лежащей в плоскости этой кривой. Так, окружность, эл­ липс, парабола и гипербола относятся к кривым второго по­ рядка.

184 Если известна одна из проекций кривой линии, лежащей в данной плоскости, построение ее другой проекции сводится к определению недостающих проекций точек этой кривой. На рис. 320 по заданной фронтальной проекции a'c'd'b' кривой, расположенной в плоскости Р. построена ее горизонтальная проекция acdb.

Рис. 320, Рис. 321.

В основе построения лежит задача па определение горизон­ тальной проекции точки, принадлежащей данной плоскости, если известна ее фронтальная проекция [6 8 ], В построении ис­ пользованы горизонтали плоскости Р.

185 Проекция окружности в общем случае представляет собой эллипс (рис. 321). Наибольшая ось эллипса является проекци­ ей того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций (отрезок АВ). наименьшая — проекцией диаметра, совпадающего с линией наибольшего ската плоскости, в ко­ торой лежит окпужность (отрезок CD).

Для построения проекций окружности, расположенной в плоскости общего положения Р, с центром в точке С и радиу­ сом R целесообразно построить:

а) сначала горизонтальные, а затем фронтальные проек­ ций точек 1 и II, ограничивающих тот диаметр окружности, который параллелен плоскости Н [701. Рис. 322;

Рис. 322.

б) фронтальные, а затем и горизонтальные проекции то­ чек III и IV, ограничивающих диаметр окружности, парал­ лельный плоскости V[71]; 1

в) горизонтальные и фронтальные проекции точек V и VI, ограничивающих диаметр окружности, совпадающий с линией наибольшего наклона плоскости Р к плоскости И. Эти точки построены способом замены плоскостей проекций V на\д [129].

Аналогично определены точки VII и VIII — плоскость II за­ менена на плоскость Н, [130] (построения не показаны).

Эта же задача может быть решена способом совмещения [161].

186 Если плоскость, в которой лежит кривая, перпендикуляр­ на к плоскости проекций, то на нее кривая линия проектирует­ ся в прямую [59]. Рис. 323, 324.

–  –  –

187 К числу пространственных кривых линии относятся цилин­ дрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траек­ торию точки А, совершающей равномерное поступательное движение по образующей KL цилиндра вращения, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси цилиндра И,. Рис. 325. ' ‘ " Обычно поступательное перемещение точки винтовой линии пропорционально вращательному (угловому): А = кДф, 1т где Ah — линейное перемещение точки за время At;

Дф —угловое перемещение точки за время At;

к коэффициент пропорциональности.

Винтовая линия характеризуется:

а) радиусом винтовой линии R;

б) шагом винтовой линии h (постоянным или перемен­ ным) ;

в) направлением винтовой линии (правая или левая).

Шагом винтовой линии называется расстояние h, проходи­ мое точкой А вдоль образующей KL. за один полный оборот этой образующей вокруг оси винтовой линии Пт Для винто­ вой линии с переменным шагом величина h непостоянна.

Правой называется винтовая линия, поднимающаяся на видимой стороне цилиндра ("конуса) слева направо. Рис. 325.

Девой называется такая винтовая линия, которая поднимает­ ся на видимой стороне цилиндра (конуса) справа налево.

–  –  –

. Для построения проекций винтовой линии необходимо:

а) построить проекции прямого кругового цилиндра за ­ данного радиуса R. Рис. 326;

б) разделить окружность основания цилиндра (являю­ щуюся горизонтальной проекцией винтовой линии) и отрезок, равный шагу h, отложенный на осп цилиндра, на некоторое число равных частей. (На рис. 326 окружность и отрезок раз­ делены па восемь частей);

в) через полученные точки делений провести соответ­ ствующие образующие и параллели цилиндра. В месте пере­ сечения фронтальных проекций первой образующей Н— Hi и первой параллели (с центром Oi) находится фронтальная проекция одной из точек цилиндрической винтовой линии—а/.

Аналогично определяются все остальные точки этой кривой— а/.аз' и т. д. ' Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии представляет собой деформированную синусоиду.

189 Цилиндрическая винтовая линия постоянного шага при развертке цилиндрической поверхности па плоскость изобра­ жается прямой линией (рис. 326). Эго объясняется тем, что линейное и угловое перемещение точки, определяющей вин­ товую линию, связаны прямой пропорциональной зависимо­ стью [187]

Рис. 326.

Угол а, полученный при развертке цилиндрической винто­ вой линии, называется углом подъема винтовой линии (tefcc = h /2t R).

t Этот угол определяет наклон касательной, например А,Мj, в любой точке винтовой линии Рис. 325.

190 Коническая винтовая линия представляет собой траекто­ рию точки А, совершающей равномерное поступательное дви­ жение по образующей SL конуса вращения, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг оси конуса Ip. Рис. 327.

Обычно поступательное перемещение точки конической винтовой линии (так же как и цилиндрической) пропорцио­ нально вращательному (угловому): Ah = kAcf.

Шагом конической винтовой линии h называется смещение точки А вдоль оси конуса II] (иногда вдоль образующей SL) за один оборот образующей, 191 Построение проекций конической винтовой линии приве­ дено на рис. 328.

Окружность основания конуса и отрезок, равный шагу h, отложенный по ось конуса, разделены на восемь равных частей.

Через полученные точки проведены соответственно обра­ зующие и параллели конуса.

В месте пересечения первой образующей S( с первой па­ раллелью (с центром О,) находится одна из точек конической винтовой линии А]. Аналогично определяются все остальные точки этой кривой Ап, Аз и т. д.

Фронтальная проекция конической винтовой линии пред­ ставляет собой синусоиду с убывающей амплитудой, а гори­ зонта ль на я спираль Архимеда.

–  –  –

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

§ 44. Краткий обзор образования иекотороых кривых поверхностей, их задание и изображение на эпюрах 192 Кривой поверхностью называется совокупность последова­ тельных положении некоторой линии, движущейся в простран­ стве. ’ !

Всякую поверхность можно рассматривать как образован­ ную движением линии K L —» образующей по линии MN—на­ правляющей. Рис. 329. (Названия образующей и иаправляющей условны, так как направляющая перемещающаяся по об­ разующей, может определять ту же поверхность).

–  –  –

Если образующую и направляющую заменить ломаными прямыми линиями, то полученная при этом поверхность будет многогранной. Всякую кривую поверхность можно рассмат­ ривать как предел, к которому стремится вписанная в нее или описанная многогранная поверхность при увеличении числа граней до бесконечности (с одновременным стремлением пло­ щади каждой грани к нулю).

193 Кривые поверхности можно разделить:

а) по виду образующей;

б) по закону движения образующей.

По виду образующей кривые поверхности делятся на:

а) линейчатые- образующая - прямая линия. К ним от­ носятся цилиндрические поверхности, конические, поверхнос­ ти с плоскостью параллелизма, винтовые и другие;

б) нелинейчатые образующая кривая линия. К ним от­ носятся сферические поверхности, поверхности тора, случай­ ного вида (рис. 329) и другие. ' В зависимости от закона движения образующей в основ­ ном различают:

а) поверхности вращения;

б) поверхности с плоскостью параллелизма:

в) винтовые поверхности.

Кривые поверхности также могут быть:

а) развертывающиеся — точно (без складок и разрывов) развертываются в плоскость;

б) перазвертывающпеся л ним, приближенно разверты­ ваются в плоскость.

194 Поверхности, положение точек которых можно выразить аналитически, относятся к закономерным, в отличие от поверх­ ностей случайного вида. Порядок алгебраической закономер­ ной поверхности (определяемый степенью алгебраического уравнения этой поверхности) равен порядку линии пересече­ ния [183] поверхности плоскостью или наибольшему числу то­ чек пересечения ее с прямой линией. Так, например, сферичес­ кая поверхность является поверхностью второго порядка.

Па эпюре значительная часть кривых поверхностей может быть изображена проекциями их очерковых (контурных) ли­ ши') или проекциями направляющей и образующей (с указа­ нием условий движения последней).

§ 45. Цилиндрические и конические поверхности 195 Цилиндрическая поверхность образуется параллельным самой себе перемещением прямолинейной образующей КД. по криволинейной направляющей MN. Рис. 330,.

196 Коническая поверхность образуется перемещением прямо­ линейной образующей SL, проходящей через неподвижную точку S (вершину), по направляющей кривой MN. Рис. 331.

197 Линия пересечения поверхности с плоскостью, ограничи­ вающей ее, называется основанием, а с плоскостью проекций

-следом этой поверхности (I—11). Рис. 330, 331.

198 Линию сечения цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим цилиндра, называют нор­ мальным сечением этой поверхности.

В зависимости от вида нормального сечения цилиндричес­ кие поверхности могут быть: круговые (нормальное сечение — окружность), эллиптические (нормальное сечение—эллипс) и т. д. ' На рис. 332 показан прямой, а на рис. 333 наклонный (с круговым основанием) эллиптические цилиндрыНа рис. 334 приведен прямой, а на рис. 335 наклонный (с круговым основанием) эллиптические конусы.

199 Чтобы построить точку, лежащую на цилиндрической (ко­ нической) поверхности, достаточно провести образующую этой поверхности IyL (SL) и взять на пен точку, например А.

Рис. 332- 335. ’

Рис. 334, 335.

§ 46. Поверхности вращения 200 П о в е р х н о с т ь вращения образуется вращением вокруг не­ подвижной оси IH криволинейной KAL (рис. 336) или прямол иней Н Й КТПрис. 337) образующей О Каждая точка образующей (например А -рис. 336) опи­ сывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Эти окружности называются параллелями (наи­ меньшая горлом, наибольшая — экватором).

I Плоскость Р. перпендикулярная коси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности - параллели (первое свойство поверхности вращения). Рис 336, 337.

Плоскость Q, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно этой оси об­ разующим— меридианам (второе свойство поверхности вра­ щения) [2 0 0 ].

Если при этом секущая плоскость параллельна плоскости проекций, меридианы сечения называются главными. Главный меридиан является очерковой (контурной) линией поверхности вращения относительно тот! плоскости проекций, которая па­ раллельна оси вращения. Рис. 338, 339.

–  –  –

Так как ось поверхности вращения обычно располагают перпендикулярно к плоскости проекций, то все параллели по­ верхности проектируются на эту плоскость без искажения—в окружности.

Так как через точку, принадлежащую поверхности враще­ ния, можно всегда провести параллель и меридиан, то очевид­ но, что проекции любой такой точки должны лежать на одно­ именных проекциях этих линий. На рис. 338, 339 показано по­ строение проекций точек А и В, принадлежащих поверхностям вращения. Точка А построена с помощью параллели (окруж­ ности с центром О), а точка В * с помощью образующей KL (хотя для ее построения так же, как и для точки А можно воспользоваться параллелью). Обе точки лежат на видимой час­ ти поверхности.

202 Ниже приведены наиболее распространенные поверхности (тела) вращения а дано построение точек, лежащих на этих поверхностях. С этой целью использованы либо прямолиней­ ные образующие, либо параллели поверхностей вращения.

Прямой круговой цилиндр: образующая - прямая KL, па­ раллельная оси вращения. Рис. 340 [199].

Рис. 340. Рис. 341.

Прямой круговой конус: образующая — прямая S'L, пере­ секающая ось вращения. Рис. 341 [199].

Гиперболоид вращения однополостный: образующая пря­ мая КГ, скрещивающаяся с осью вращения 11ц Рис. 342, 343.

Однополостнып гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью, так как через любую точку его образующей можно провести вторую прямолинейную образующую (второ­ го семейства). " Эта же поверхность может быть получена вращением ги­ перболы IxiА11,! вокруг ее мнимой оси. Рис. 344 [200, 201].

–  –  –

Гиперболоид вращения двухполостный образуется враще­ нием гиперболы (образующая) вокруг ее действительной оси.

Рис. 345. ' На эпюре (рис. 346) показана лишь одна полость гипербо­ лоида.

–  –  –

Сфера образуется вращением окружности (образующая) вокруг ее диаметра. Рис. 347 [200, 2 0 1 ]. ’ Тор образуется вращением окружности (образующая) во­ круг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Рис. 348—350.

В зависимости от. положения оси вращения различают от­ крытый тор (кольцо) — ось вращения не пересекает образую­ щую окружность (рис. 348) и закрытый тор — ось пересекает образующую окружность. Рис. 349, 350 [200, 201].

–  –  –

Эллипсоид вращения образуется при вращении эллипса (образующая) вокруг одной из его осей. Рис. 351 [200, 201].

Параболоид вращения образуется при вращении параболы (образующая) вокруг ее оси. Рис. 352 [200, 201].

I' 203 Линейчатой поверхностью с плоскостью параллелизма на­ зывается поверхность, образованная движением прямолиней­ ной образующей, которая, пересекая две направляющие, ос­ тается постоянно параллельной некоторой плоскости — плос­ кости параллелизма.

Таким образом, поверхность с плоскостью параллелизма может быть задана двумя направляющими и плоскостью па­ раллелизма. В качестве последней может служить любая плоскость, в том числе н плоскость проекции.

204 Ниже рассмотрены отдельные виды линейчатых поверхно­ стей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроидом называется поверхность с плоскостью па­ раллелизма [203], две направляющие которой АВ и CD - кри­ вые линии. Рис. 353, 354. (Если направляющие— плоские кривые, то они не должны лежать в одной плоскости).

Так как в данном случае плоскостью параллелизма являет­ ся плоскость И, образующая поверхность KL во всех своих положениях остается горизонтальной линией. (Фронтальные проекции ее параллельны оси X).

Коноидом называется поверхность с плоскостью паралле­ лизма, одна из направляющих которой кривая ALB, а дру­ гая — прямая CD. Рис. 355, 356 Рис. 353, 354.

Так как в данном случае плоскостью параллелизма яв­ ляется фронтально-проектнрующая плоскость Р, фронтальные проекции образующей! KL во всех ее положениях параллель­ ны PvКоноид, прямолинейная направляющая которого перпенди­ кулярна плоскости параллелизма, называется прямым.

Гиперболическим параболоидом (косой плоскостью) назы­ вается поверхность с плоскостью параллелизма, направляю­ щие которой АВ и CD—скрещивающиеся прямые линии [49].

Рис.357, 358.

Так как в данном случае плоскостью параллелизма являет­ ся горизонтально-нроекгирующая плоскость Р, горизонталь­ ные проекции образующей KL во всех положениях парал­ лельны Р н.

Плоскость, параллельная двум данным скрещивающимся прямым — направляющим АВ и CD, является второй плоско­ стью параллелизма поверхности. В этом случае прямые АВ и CD можно рассматривать как образующие второго семейства, а любую пару образующих первого семейства (например КХ и К.1 Lx) — как направляющие.

Итак, поверхность гиперболического параболоида содер­ жит два семейства прямолинейных образующих.

Рис. 355, 356.

205 Винтовой поверхностью называется такая поверхность, ко­ торая образуется какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении.

Определителями винтовой поверхности являются: ось lit, образующая АВ и шаг h [187]. Вместо шага может быть зада­ на одна из винтовых линий, по которой перемещается обра­ зующая.

Любая точка образующей поверхности (за исключением точки, расположенной на оси) описывает цилиндрическую винтовую линию, шаг который равен шагу винтовой поверх­ ности.

206 Наибольшее распространение имеют линейчатые винтовые поверхности — геликоиды, которые образуются винтовым дви­ жением прямолинейной образующей.

Прямой геликоид образуется винтовым движением прямо»

линейной образующей АВ, пересекающей ось вращения IIj под прямым углом. Рис. 359, 360.

Образующая АВ прямого геликоида движется по двум на­ правляющим—винтовой линии BB iB 2,..Bn и оси IB, оставаясь параллельной плоскости, которая перпендикулярна этой оси.

В данном случае такой плоскостью является плоскость Н, а поэтому образующая АВ во всех своих положениях остается горизонтальной линией.

Таким образом, прямой геликоид является частным случа­ ем поверхности с плоскостью параллелизма — коноидом [204].

207 Наклонный геликоид (архимедова поверхность) образуется винтовым движением прямолинейной образующей АВ, пересе­ кающей ось Hi под углом, не равным 90°. Рис. 361.

Образующая наклонного геликоида АВ, пересекая при сво­ ем движении две направляющие — ось II] и винтовую линию, остается параллельной соответствующим образующим некото­ рого направляющего конуса.

Для построения проекций поверхности наклонного геликои­ да необходимо:

а) построить две его направляющие — ось II, и цилин­ дрическую винтовую линию В0 В[ В2..ВП[188]. Рис. 362.

б) построить направляющий конус, ось которого совпа­ дает с осью геликоида, а образующие составляют с ней за­ данный угол (90°—а 0);

в) параллельно образующим направляющего конуса SO, ST, SII и т. д., через точки В0, В ь В2 винтовой линии провести соответствующие образующие геликоида.

В сечении наклонного геликоида плоскостью, перпендику­ лярной к его оси, получается плоская кривая — спираль Ар­ химеда. Рис. 361.

208 Звольвентный геликоид образуется винтовым движением прямолинейной образующей АВ, не пересекающей оси Ip. Об­ разующая во всех своих положениях остается касательной к некоторой цилиндрической винтовой линии, которая является, направляющей поверхности. Рис. 363.

Угол наклона образующей АВ геликоида равен углу подъема направляюще!! винтовой линии.

Таким образом, образующая АВ наклонного геликоида, пе­ ремещаясь по винтовой линии, остается параллельной соот­ ветствующим образующим S Г, S11, ST 11 п т- д. некоторого на­ правляющего конуса.

Рис. 363.

Построение проекций эвольвентного геликоида выполняет­ ся в следующем порядке:

а) строится направляющая винтовой поверхности — ци­ линдрическая винтовая линия AiA2A3...An. Рис. 364;

б) строится направляющий конус, угол наклона образую­ щей которого к плоскости Н равен углу подъема а винтовой линии [189];

в) параллельно образующим этого конуса SI, SII, S'lll и т. д. через точки AiA2A3 винтовой линии проводят соответ­ ствующие образующие поверхности геликоида.

На рис. 364 показан звольвентный геликоид, ограничен­ ный соосным цилиндром диаметра D. Этот цилиндр пересекает эвольвентную поверхность по цилиндрической винтовой линии CiC,C3 - C n, которая может рассматриваться как вторая на­ правляющая поверхности.

Сечение эвольвентной поверхности плоскостью, перпенди­ кулярной к ее оси, представляет собой плоскую кривую В] В»

В.... В „ -эвольвенту окружности. Рис. 363, Рис. 365.

209 Конволютный геликоид, как и эвольвентпып, образуется винтовым движением прямолинейной образующей, не пересе кающей ось вращения Однако угол наклона образующей конволготного геликоида ("перемещающейся по винтовой линии цилиндра и касающей­ ся ого) не равен углу подъема направляющей винтовой линии.

Частный случай конволютного геликоида, образующая ко­ торого АВ параллельна плоскости II, представлен па рис. 365.

Так как горизонтальная образующая АВ движется по двум криволинейным направляющим (двум цилиндрическим [пинтовым линиям одинакового шага), этот геликоид можно рассматривать как поверхность с плоскостью параллелизма.

[203, 2041.

§ 49. Винг цилиндрический 210 Винт представляет собой совокупность цилиндра и винто­ вого выступа на нем (одного пли нескольких). Рис. 366.

Винтовой выступ может быть образован винтовым движе­ нием какой-либо плоской фигуры (например, треугольника, квадрата, трапеции и т. д.) по поверхности некоторого цилин­ дра. Эта фигура называется образующей или производящей.

Обычно плоскость ее проходит через ось цилиндра II,.

На приведенном рисунке образующей фигурой (профилем) винтового выступа является квадрат ABCD, одной из своих сторон CD примыкающий к основному цилиндру винта по его образующей. ’ Очевидно, что все точки образующего профиля (в том чи­ сле и любая его вершина, если это многоугольник) описыва­ ют цилиндрические винтовые линии одинакового шага h [187].

Если образующей фигурой является многоугольник, то вин­ товой выступ в общем случае может быть ограничен как ци­ линдрическими поверхностями, так и поверхностями прямого [206] и наклонного [207J геликоида.

На рис. 366 винтовой выступ ограничен двумя цилиндри­ ческими поверхностями Fi и F2, а также поверхностями пря­ мого геликоида F3 и р4.

В зависимости от направления винтового выступа винты бывают с правой и левой резьбой (аналогично правой и левой винтовым линиям [187]).

Винт, имеющий один винтовой выступ (один производящий профиль), называется однозаходным или одноходовым.

Рис. 367.

Винт, имеющий два или три выступа (два или три произ­ водящих профиля) называется соответственно двух- или трех* заходным. Рис. 368, 369Шагом резьбы «И» называется расстояние, измеренное вдоль оси винта между смежными виткамиХодом резьбы «S» называется расстояние, измеренное вдоль оси винта между двумя точками а' и а,' одного и того же витка. Рис. 367—369.

Рис. 367, 368, 369.

Очевидно, что для однозаходных резьб S = h, для двухзаходных S = 2h и т. д.

Таким образом, характеристиками винта являются:

а) диаметр внешнего D (большего) или внутреннего (меньшего) цилиндра;

б) форма и размеры производящего профиля;

в) заходность винта (число заходов);

г) шаг резьбы «И»;

д) направление витков (правое или левое).

211 Построение винта на эпюре сводится к построению огра* ничивающих его винтовых поверхностей, образующихся при вин-fO M движении сторон производящей фигуры. Обычно с BO этой целью сначала строят винтовые линии, описываемые вер­ шинами этой фигуры. Рис. 370.

В данном случае на поверхности внешнего цилиндра по­ строены две большие винтовые линии (как результат переме­ щения точек А и В образующей трапеции) и две малые — на поверхности внутреннего цилиндра) от перемещения точек С и D этой же трапеции) [188].

Очертание поверхности наклонного геликоида на фрон­ тальной проекции получено приближенно—проведением каса­ тельных к проекциям большой и малой винтовых линий. В дей­ ствительности это очертание является криволинейным [207].

Построение фигуры поперечного сечения винта сводится к определению линий пересечения поверхностей, ограничиваю­ щих этот винт, данной плоскостью (рис. 370). Так как от точ­ ки I до V горизонтальная плоскость Р пересекает поверхность наклонного геликоида F4, на этом участке горизонтальная проекция фигуры сечения будет ограничена спиралью Архи­ меда [207].

Построение ее выполнено по точкам пересечения стороны AD — образующей трапеции с данной горизонтальной пло­ скостью Р.

На участках V—VI и VII—I фигура сечения винта ограни­ чена дугами окружностей, являющимися результатом сечения цилиндрических поверхностей F, и F2. И, наконец, на участке VI—VII — прямой, получающейся при пересечении поверхно­ сти прямого геликоида той же плоскостью Р. [206].

Очевидно, что сечение винта' фронтальной плоскостью, про­ ходящей через ось II,, определяет профиль резьбы — произ­ водящую фигуру винтового выступа. Рис 370.

Глава VI I I

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

§ 50 Пересечение кривых поверхностей плоскостью 212 При пересечении кривых поверхностей плоскостью образу­ ются различные плоские линии.

Вид сечения зависит от вида кривой поверхности, а также от положения секущей плоскости относительно элементов, оп­ ределяющих поверхность: направляющей и образующей [192|.

Для построения плоского сечения находят отдельные его точки. Построение этих точек осуществляется способом вспо­ могательных секущих плоскостей, аналогичным тому, который применяется для построения линии пересечения плоскостей об­ щего положения.

Вводя вспомогательную плоскость R, строят линию ее пе­ ресечения K.LM с данной поверхностью Р, а также линию ее пересечения EF с секущей плоскостью S'. Эти линии, пересека­ ясь между собой, определяют искомые точки L и N плоского сечения. Рис. 371.

Для обеспечения точности и простоты построений вспомо­ гательные плоскости следует выбирать с таким расчетов, что­ бы они пересекались с кривой поверхностью по простым ли­ ниям: прямым или окружностям.

Из всех точек сечения в первую очередь определяют те, которые выделяются своим положением относительно плоско­ стей проекций (например, точка, наиболее близкая к плоскости проекций или наиболее удаленная от нее [182], точки, разгра­ ничивающие видимость сечения на плоскостях проекций), а также характерные точки самой кривой. Такие точки называ­ ются опорными. Их положение позволяет рационально опре­ делить место и число остальных — промежуточных точек.

Плоские сечения некоторых линейчатых поверхностей

а) Конические сечения 213 Плоскость, параллельная основанию конуса [197], пересека­ ет его боковую поверхность по кривой, подобной основанию Рис. 372, 373.

Рис. 372. 373.

Так, на рис. 372 сечение конуса плоскостью R представля­ ет собой эллипс с осями AiB] и QDi, соответственно пропор­ циональными и параллельными осям АВ и CD эллипса осно­ вания.

На рис. 373 сечением конуса плоскостью Q является окруж­ ность с центром О — точкой пересечения оси конуса с плоско­ стью Q и радиусом, равным расстоянию от центра до очерко­ вой образующей конуса.

14 Плоскость, проходящая через вершину конуса и пересека­ ющая его основание, пересекает его боковую поверхность по двум прямым — образующим. Рис. 374—376.

Рис. 574, 375, 376.

На рис. 374 конус пересечен горизонтально-проектирующей плоскостью Р.

На рис. 375 плоскость общего положения Т (простейшая секущая) [170] задана пересекающимися прямыми CD и DE.

На рис. 376 конус пересекает плоскость общего положе­ ния Q, заданная следами.

Построение сечения сводится к определению точек I и II пересечения секущей плоскости с контуром основания конуса.

В первом случае горизонтальные проекции этих точек ока­ зываются заданными. Во втором случае для их построения найдена линия пересечения ММ] секущей плоскости с основани ем конуса, здесь — горизонтальный след Т„. В третьем примере они построены с помощью плоскости R, проходящей через основание конуса и пересекающей плоскость Q по ее го­ ризонтали N1 [89].

215 Если секущая плоскость параллельна одной из образую­ щих конуса, то сечение представляет собой парабол).

Рис. 377,378. ‘ ‘ '

Рис. 377, 378.

На рис. 377 фронтально-проектирующая плоскость Q па­ раллельна образующей S'A.

Фронтальная проекция параболы представляет собой отре­ зок прямой, совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости[186] Точки I и И — низшие, принадлежащие основанию кону­ са, и точка III — высшая, принадлежащая образующей SB, яв­ ляются опорными [212].

Промежуточные точки IV, V, VI и VII построены с помо­ щью плоскостей R п S, пересекающих конус соответственно по окружностям с центрами О и О, [213]. а плоскость Q по ее го­ ризонталям IV—V и VI -VII.

Плоскость Т, проведенная через ось конуса перпендику­ лярно к горизонтальному следу секущей плоскости Q, являет­ ся плоскостью симметрии для всех точек кривой, из которых высшая точка IV лежит в плоскости Т и симметрична сама се­ бе. Рис. 377.

Па рис. 378 плоскость общего положения Q пересекает ко­ нус также по параболе, так как эта плоскость проходит через прямую MN, параллельную образующей SA. [99].

Низшие точки I и II параболы являются точками пересече­ ния горизонтального следа плоскости с окружностью основа­ ния конуса.

Высшая точка III может быть построена двумя приемами:

. ‘ V

а) преобразованием эпюра в систему—-, где плоскость Q становится проектирующей (Xi Q „ ) [129], тогда решение з а ­ дачи сводится к предыдущему случаю, Рис. 377;

б) проведением вспомогательной плоскости Т, проходя­ щей через ось конуса и перпендикулярной к Q,,. Эта плоскость пересечет плоскость Q по прямой MiN] [94], а конус — по обра­ зующей SB [214].

Точка IV, разграничивающая видимость параболы на плос­ кости V, определена с помощью плоскости N, пересекающей конус по образующей SC, а плоскость Q — по ее фронтали F — (IV) [90]. " Промежуточные точки V и VI построены с помощью плос­ кости S, пересекающей конус по окружности с центром О [213], а плоскость Q—по ее горизонтали G -VI [89].

216 Плоскость, параллельная двум образующим конуса, пере­ секает его по гиперболе. Рис. 379, 380.

На рис. 379 горизонт а.ты.ю-проектирующая плоскость Q параллельна образующим SA и S B.

Горизонтальная проекция гиперболы представляет собой прямую 1—2, совпадающую с горизонтальным следом секущей плоскости [186].

Вначале построены низшие точки I и II, принадлежащие основанию конуса, и точка III, принадлежащая очерковой об­ разующей SC и разграничивающая видимость гиперболы на плоскости V. Затем найдена высшая точка IV, принадлежа­ щая образующей SD и лежащая в плоскости Т, проходящей через ось конуса и перпендикулярной к Q„.

Промежуточные точки V и VI, а также VII и VIII определ- ны с помощью плоскостей R и S. пересекающих конус го окружностям с центрами О и 0 | [213], а плоскость Q — по ее горизонталям V—VI и VII—VIII [89].

На рис. 380 гипербола получена в результате пересечения конуса плоскостью общего положения Q, заданной пересекаю* щимися прямыми EF и FK, соответственно параллельными об­ разующим SA и SB [85].

Рис. 379, 380.

Для определения низших I и II точек сечения построен го­ ризонтальный след Q „ секущей плоскости [74], являющийся в данном случае, линией пересечения плоскости Q с плоско­ стью основания конуса.

Высшая точка IV гиперболы найдена с помощью плоско­ сти Т, перпендикулярной к Q„ и проходящей через ось ко­ нуса. ’ Плоскость Т пересекает конус по образующей SC[214], а плоскость Q—по прямой М2-1П [94].

Точка V, разграничивающая видимость сечения на плоско­ сти V, определена с помощью плоскости U, проходящей через очерковую образующую SD и пересекающую плоскость Q по ее фронтали M3-V [90].

Промежуточные точки VI и VII построены с помощью плоскости S, пересекающей конус по окружности с центром О [214], а плоскость Q — по ее горизонтали G-VII [89].

217 Плос кость, не параллельная ни одной из образующих кону­ са, пересекает его по эллипсу. Рис. 381, 382.

На рис. 381 показано построение проекций и истинной ве­ личины эллипса, полученного в результате пересечения кону­ са фронтально-проектирующей плоскостью Q.

Рис. 381. 382.

Фронтальная проекция эллипса представляет собой отре­ зок прямой, совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости [186].

В данном случае точка А — низшая и точка В — высшая, принадлежащие соответственно образующим S-I и S-II, явля­ ются концами большой оси эллипса. Малая ось эллипса на плоскость V проектируется в точку, делящую большую ось по­ полам. Концы малой оси — точки С и D определены с помо­ щью плоскости S, пересекающей конус по окружности с цен­ тром О [214], а плоскость Q — по ее горизонтали CD [89]. Аналогично, при помощи плоскостей Р и R найдены промежуточ­ ные точки Е и F, К и L.

Горизонтальная проекция эллипса может быть построена также по осям ab и cd.

Истинная величина эллипса построена по его осям с приме­ нением способа замены плоскостей проекций (Xi||Qv ) [131].

На рис. 382 конус пересечен плоскостью общего положе»

ния R. Преобразованием эпюра в систему ^ (Xi-LRH) [129], решение задачи сведено к предыдущему случаю. Рис. 381.

Здесь же показано построение низшей А и высшей В точек с помощью плоскости Т, перпендикулярной к R„ и проходя­ щей через ось конуса. Отрезки ab и cd являются осями гори­ зонтальной проекции эллипса.

Точки Е и F, разграничивающие видимость эллипса на плоскости А', построены с помощью плоскости S, проходящей через очерковые образующие S-I и S-1I и пересекающей пло­ скость R по ее фронтали MiF [90]. •

б) Цилиндрические сечения 218 Сечение поверхности цилиндра плоскостью, параллельной основанию [107]. представляет собой кривую, конгруэнтную ос­ нованию. Рис. 383.

Рис. 383.

В данном примере сечением цилиндра плоскостью S' явля­ ется окружность с центром О — точкой пересечения секущей плоскости с осью цилиндра.

219 Если секущая плоскость параллельна образующим ци­ линдра, то сечение его боковой поверхности представляет со­ бой две прямые — образующие. Рис. 384, 385.

Рис. 384. 385.

Так, на рис. 384 цилиндр пересечен горизонтально-проектирующей плоскостью R.

Па рис. 385 плоскость общего положения S (простейшая секущая) [171] задана пересекающимися прямыми АВ и ВС.

Построение сечения сводится к определению точек I и II пересечения секущей плоскости с контуром основания цилин­ дра. В первом случае горизонтальные проекции этих точек оказываются заданными. Во втором случае для их построения найдена линия пересечения М М, секущей плоскости с основа­ нием цилиндра, здесь... горизонтальный след S,, [74].

220 Плоскость, не параллельная основанию и образующим ци­ линдра второго порядка [194], пересекает его по эллипсу Рис. 386, 387. ' На рис. 386 показано пересечение цилиндра фронтально­ проектирующей плоскостью R и определена истинная величи­ на сечения.

В данном случае проекции эллипса оказывается заданны­ ми: фронтальная проекция представляет собой отрезок пря­ мой, совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости 1186], а горизонтальная проекция эллипса совпадает с очерком горизонтальной проекции цилиндра.

Точка О является центром эллипса, а отрезки АВ и C D — его осями.

Истинная величина эллипса построена способом замены плоскостей проекций (XijjRv ) [131].

На рис. 387 цилиндр пересечен плоскостью общего полоV жения S. Преобразованием эпюра в систему —, где плис* скость S стала проектирующей (Xi.l S „ ) [129], решение задачи сведено к предыдущему случаю. Рис. 386. Здесь же показано построение низшей А и высшей. В точек с помощью плоско­ сти Т, перпендикулярной к S H и проходящей через ось цилин­ дра. Плоскость Т пересекается с плоскостью S по прямой MN [94], а с цилиндром по образующим I-А и П-В [219].

Точки Е и Е разграничивающие видимость эллипса на пло­ ", скости V, построены с помощью плоскости R, проходящей че­ рез очерковые образующие цилиндра и пересекающей плос­ кость S по ее фронтали MjF [90].

221 На рис. 388 показано построение проекций и истинной ве­ личины нормального сечения наклонного цилиндра [198].

у Преобразованием эпюра в систему—1 (X i± P „ ) [129] оп­ ределены точки эллипса А и В, принадлежащие горизонтали плоскости Р, а также точки С и D, принадлежащие ее линии MN — наибольшего наклона к плоскости И [73].

–  –  –

Рис. 388.

Отрезки ab и cd являются осями горизонтальной проекции эллипса; точки А и В определяют видимость сечения относи­ тельно плоскости Id, а точки Е и F —относительно плоскости V.

Истинная величина эллипса построена по двум осям АВ и CD способом совмещения плоскости Р с плоскостью Н [148].

Плоские сечения некоторых нелинейных поверхностей [193] 222 На рис. 389 сфера пересечена фронтально-проектирующей плоскостью S'.

Сечением является окружность, проектирующаяся на пло­ скость V в виде отрезка прямой, совпадающего с фронтальным следом секущей плоскости. Низшая точка А и высшая точка В, в данном случае, принадлежат главному меридиану сфе­ ры [201].

Центром окружности является точка О, делящая отрезок АВ пополам. Горизонтальная проекция окружности представ­ ляет собой эллипс с осями ab и cd, причем cd = a'l/. Здесь же показано построение точек С и D с помощью плоскости Q, пе­ ресекающей сферу по параллели с центром Oi [200], а плос­ кость S — по ее горизонтали CD. Аналогично может быть по­ строено любое число промежуточных точек. Точки Е и F, при­ надлежащие экватору сферы, разграничивают видимость се­ чения на плоскости Н.

–  –  –

ной к S„ и проходящей через вертикальную ось сферы, а точек К и L - с помощью плоскости, перпендикулярной к S„ и проходящей через ось сферы, перпендикулярную к плоскости V. (Применение этого приема показано на рис. 391, 392). Точ­ ки I и II, разграничивающие видимость сечения на плоско­ сти Н, построены с помощью плоскости Q, проходящей через экватор сферы [200] и пересекающей плоскость S по ее гори­ зонтали N-I [89] (отмечены только их горизонтальные проек­ ции). Точки III и IV, разграничивающие видимость сечения на плоское™ V, построены с помощью плоскости R, проходя­ щей через главный меридиан сферы и пересекающей плос­ кость S по ее фронтали М-Ш [90] (отмечены только их фрон­ тальные проекции). ‘ 223 На рис. 391 показано пересечение тора [202] горизонтально­ проектирующей плоскостью S

Рис. 391.

Сечение представляет собой кривую, горизонтальная про­ екция которой определяется точками I и II, принадлежащими экватору тора [200]. Горизонтальная проекция высшей точ­ ки III определена с помощью горизонтально-проектирующей плоскости Т, перпендикулярной к S'„ и проходящей через ось тора. Фронтальная проекция этой точки построена с помощью параллели, проведенной через точку III и пересекающей глав­ ный меридиан тора [201] в точке Ш ь Точка IV, принадлежащая главному меридиану тора, раз­ граничивает видимость сечения на плоскости V.

построение можно выполнить также преобразованием эпюра в систему^-1 при X ji. S„ [129].

Точки Е и F, разграничивающие видимость сечения на пло­ скости V, построены с помощью плоскости Q, проходящей че­ рез главный меридиан тора и пересекающей плоскость S по ее фронтали MoF [90].

Промежуточные точки С и D построены с помощью пло­ скости R,пересекающей тор по параллели с центром О, а пло­ скость S — по ее горизонтали С \'2 [89].

§ 51. Плоскости, касательные к кривым поверхностям 224 Для исследования свойств кривых поверхностей и решения различных задач возникает необходимость в построении плос­ костей, касательных к кривым поверхностям.

Плоскость, касательная к кривой поверхности, является геометрическим местом прямых—касательных к поверхности в одной, принадлежащей ей точке.

Прямой линией, касательной к кривой поверхности Р, на­ зывают прямую АВ, касательную к некоторой линии LKN, про­ веденной по этой поверхности. Рис. 393.

В

Для построения касательной плоскости R достаточно по­ строить две прямые АВ и CD, касательные к поверхности в данной! точке К [55]. Рис. 394 Точки поверхности, в которых может быть построена един­ ственная касательная плоскость, называют обыкновенными;

точки поверхности, в которых касательная плоскость является неопределенной или не является единственной, называют осо­ быми.

К числу особых точек относятся, например: вершина кони­ ческой поверхности, вершины поверхностей вращения, обраПромежуточные точки V и VI, VII и VIII построены при помощи плоскостей Q и R, пересекающих топ по его паралле­ лям с центрами О и О].

На рис. 392 тор пересечен плоскостью общего положения S.

Низшая А и высшая В точки сечения построены с помощью плоскости Т, перпендикулярной к S „ и проходящей через ось Hi тора. Плоскость Т пересекает плоскость S' по прямой A1N [94], а тор по меридиану, горизонтальная проекция которого совпадает с Т н [186]. Но так как указанный меридиан на пло­ скость V спроектируется с искажением (его фронтальная про­ екция не показана), то для упрощения построений плоскость Т повернута вокруг оси II4, до положения Ть При этом линия

Рис. 392.

АШ пересечения плоскостей S и Т займет положение MiNt [138], а меридиан, расположенный в плоскости Т, совместится с главным меридианом тора.

По найденным точкам а / и Ь/ обратным вращением опре­ делены точки а и Ь', а затем найдены точки а и Ь. Указанное зующиеся в том случае, когда меридиан пересекает ось не под прямым углом.

225 Плоскость, касательная к линейчатой развертывающейся поверхности (конической, цилиндрической) [193], касается ее по прямой - - образующей этой поверхности На рис. 395 проведена плоскость, касательная к конусу че­ рез точку К, лежащую на его поверхности.

Рис. 395. Рис. 396.

Через точку К по поверхности конуса проведены две ли­ нии: окружность с центром О, полученная в результате пере­ сечения конуса плоскостью R [213], и образующая SR.

Искомая плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми: прямой GK. касательной к окружности в точке К и образующей SK, которая является своей собственной каса­ тельной.

226 На рис. 396 построены две плоскости, касательные к кону­ су и проходящие через точку G, расположенную вне его по­ верхности.

Через точку G проведена вспомогательная плоскость R, пересекающая конус по окружности с центром О [213]. R этой окружности через точку G проведены две касательные Gl\ и GIG. Одна из касательных плоскостей определяется пересека­ ющимися прямыми GK, и S К. вторая — прямыми GIG и SKi.

227 На рис. 397 построены плоскости, касательные к конусу и параллельные данной прямой АВ.

Так как касательные плоскости должны проходить через вершину конуса, то через точку S проведена прямая SM, па­ раллельная АВ. Через точку М — горизонтальный след прямой SM—проведены две касательные МК и МКi к окружности ос­ нования конуса. Одна из касательных плоскостей определяет­ ся прямыми SM и МК, вторая - прямыми ЯМ и MKi [224].

Плоскости касаются конуса соответственно по образующим S K h S K i. ‘ ‘ Указанную задачу приходится решать при построении соб­ ственной и падающей теней конуса Так, если отрезок АВ при­ нять за направление световых лучей, то образующие S'К и SKi являются границей собственной тени, а отрезки КМ и KiM — очерком падающей тени конуса на плоскость Н.

228 На рис. 398 показано построение плоскости, касательной к цилиндру и проходящей через точку К, принадлежащую его поверхности.

Искомая плоскость определяется пересекающимися пря­ мыми: образующей КМ [225] и прямой GM, касательной к окружности основания [224].

-29 На рис. 399 касательные плоскости к цилиндру проведены через точку А. расположенную вне его поверхности.

Гак как искомые плоскости коснутся цилиндра по образу­ ющим [225], то они пройдут через прямую AM, параллельную образующим. ' ' Рис. 398.

Через точку М — горизонтальный след этой прямой — про­ ведены две прямые МК. и МКь касательные к окружности ос­ нования цилиндра. Каждая из касательных’ плоскостей опре­ деляется одной из этих прямых и прямой AM. Плоскости ка­ саются цилиндра по образующим КВ и KiC.

230 На рис, 400 построены две плоскости Q и R, касательные к цилиндру и параллельные данной прямой АВ.

Рис. 400.

Через произвольную точку Р пространства проведены две пересекающиеся прямые, одна из которых РМ параллельна об­ разующим цилиндра, а другая РМ) параллельна прямой АВ.

Эти прямые определяют плоскость Р, параллельную как обра­ зующим цилиндра, так'п прямой АВ [100]. Затем параллельно горизонтальному следу Р н проведены горизонтальные следы Q H и R„ искомых касательных плоскостей [86]. Плоскости Q и R касаются цилиндра соответственно по образующим КВ и К.С [225]. '' 231 На рис. 401 проведена плоскость, касательная к сфере че­ рез точку К, лежащую на ее поверхности.

Искомая плоскость определяется двумя прямыми, каса­ тельными к сфере в точке К: прямой GK, касательной к парал­ лели, лежащей в плоскости R и прямой FK., касательной к окружности, лежащей в плоскости S [224]. Заметим, что пря­ мые GK и FK, являющиеся соответственно горизонталью и фронталыо касательной плоскости, перпендикулярны к ра­ диусу сферы ОК, проходящему через точку касания. Следова­ тельно, решение задачи может быть сведено к построению в заданной ючке К плоскости, перпендикулярной к пря­ мой ОК [108].

232 Построение плоскости, касательной к сфере и проходящей через точку S, расположенную вне ее поверхности. Рис. 402.

Рис. 401 Рис. 402.

В этом случае задача имеет бесчисленное множество ре­ шений. Геометрическим местом прямых, касательных к сфере, является коническая поверхность с вершиной в точке S, опи­ санная вокруг сферы и касающаяся ее по окружности с цен­ тром О. Следовательно, любая плоскость, касательная к этой конической поверхности, будет касательной и к сфере.

На рис. 402 одна из касательных плоскостей определена об* разующей конуса SK и горизонталью GK [224], Если ось ко­ нуса— прямая S ' O является прямой общего положения, то эпюр надо преобразовать так, чтобы она оказалась перпенди­ кулярной к одной из плоскостей проекций [125, 140].

233 Н а рис. 403 проведена плоскость, касательная к тору через точку К, лежащую на его поверхности.

Касательная плоскость определяется двумя пересекающи­ мися в точке К прямыми: прямой G K- касательной к парал­ лели, расположенной в плоскости R, и прямой SK — касатель­ ной к меридиану гора, проходящему через точку К [224].

Рис. 403.

Для того чтобы избежать построения фронтальной проек­ ции этого меридиана, которая передаст его форму с искаже­ нием, указанный меридиан повернут вокруг оси IIt тора до совмещения с фронтальным меридианом. При этом точка К заняла положение К: [134, 138].

В точке Ki к фронтальному меридиану построена касатель­ ная, пересекающая ось вращения в точке S'. Затем, обратным вращением найдены проекции SK. Заметим, что если точка S окажется недоступной на чертеже, то для описанного построе­ ния можно воспользоваться точкой М горизонтальным сле­ дом прямой S'K.

§ 52. Пересечение прямой линии с кривыми поверхностями 234 Задача построения точек пересечения прямой линии с кри­ вой поверхностью аналогична задаче определения точек пере­ сечения прямой линии с многогранником [168].

Решение состоит из трех этапов:

а) через данную прямую АВ проводят вспомогательную секущую плоскость S;

б) строят линию пересечения этой плоскости с кривой поверхностыо Р;

в) отмечают искомые точки I и II пересечения прямой с построенным сечением. Рис. 404.

р Если при построении точек пересечения прямой линии с по­ верхностью многогранника выбор вспомогательной секущей плоскости не имел существенного значения, так как любая плоскость пересекаясь с многогранником, образует много­ угольник 1164], то при построении точек пересечения прямой с кривой поверхностью этот вопрос приобретает особое значе­ ние. Выбор секущей плоскости в этом случае зависит как от положения прямой относительно тайной кривой поверхности, так и от вида самой поверхности и дотжсн определяться сле­ дующим, соображением: выбранная вспомогательная плос­ кость должна образовать в пересечении с кривой поверхно­ стью простейшие линии (прямые или окружности). Выполне­ ние указанного положения обеспечит точность и простоту по­ строений.

5 На рис. 405—407 представлены три случая пересечения прямой АВ с поверхностью конуса.

В первом случае (рис. -105) задача решена с помощью горпаонтально-проектиругощей плоскости R, пересекающей конус по образующим S'C и SD [214]. Во втором случае (рис. 406) искомые точки I и II определены с помощью плоскости Q, пе­ ресекающей конус по окружности с центром О [213]. В случае, представленном на рис. 407, использование в качестве вспомо­ гательной одной из проектирующих плоскостей нецелесообраз­ но, так как горизонтально-проектирующая плоскость, прове­ денная через прямую АВ., пересечет конус по гиперболе [216], а фронтально-проектирующая — по эллипсу [217]. Поэтому для решения задачи применена плоскость общего положе­ ния Р (простейшая секущая), проведенная через вершину конуса и определяющаяся пересекающимися прямыми: АВ и SC [214]. Плоскость Р пересекла конус по образующим SD и SE. Точки I и II пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми [234].

–  –  –

236 На рис. 408—410 показаны три случая пересечения АВ с поверхностью цилиндра., Первая задача (рис. 408) решена с помощью горизонталь­ ной плоскости Q, пересекающей цилиндр по окружности с центром О [218].

Вторая задача (рис. 409) решена с помощью горизонтально-лроектирующей плоскости R, пересекающей цилиндр но об­ разующим С-I и D-II [219]. Решение третьей задачи (рис. 410) с помощью одной из проектирующих плоскостей нецелесооб­ разно, так как каждая из них пересечет цилиндр по эллипсу [220]. Поэтому задача решена с помощью плоскости общего положения Р (простейшей секущей).

Она параллельна образу­ ющим цилиндра и определяется пересекающимися прямыми:

данной прямой АВ и прямой АМЬ проведенной параллельно образующим цилиндра [219].

Плоскость Р пересекла цилиндр по образующим С-I и D-11.

Точки I и II — искомые [234].

237 На рис. 411—413 представлены три случая пересечение прямой АВ с поверхностью сферы.

Рис. 411.

В первом примере (рис. 411) искомые точки I и II найде­ ны с помощью горизонтальной плоскости Р, пересекающей сферу по параллели с центром О [2 0 0 ]. Вторая задача (рис.

412) решена при помощи фронтальной плоскости R, пересе­ кающей сферу по окружности с центром О. В третьем приме­ ре (рис. 413) любая из проектирующих плоскостей, проведен­ ных через прямую АВ, также пересечет сферу по окружности.

Однако обе эти окружности спроектируются на плоскости проекций в виде эллипсов [185, 222]. Для того чтобы избежать построения этих эллипсов, применяют один из способов пре­ образования эпюра (замену плоскостей проекций, вращение).

Здесь через прямую АВ проведена горизонтально-проектирующая плоскость S, пересекающая сферу по окружности с цен­ тром О. Затем эпюр преобразован в систему—, где плосН кость S является фронтальной: X.]|S „ [123, 131]. Таким обра­ зом, условие и решение данной задачи сведено к задаче, пред­ ставленной на рис. 412.

238 В некоторых случаях— при построении точек пересечения прямой с нелинейчатой поверхностью — не представляется воз­ можным провести вспомогательную секущую плоскость так, чтобы она, пересекаясь с поверхностью, давала бы простей­ шие линии; исключается также и применение способов преоб­ разования эпюра. Поэтому приходится строить сечение по­ верхности, представляющее собой лекальную кривую. В каче­ стве примера приведено построение точек пересечения пря­ мой АВ с поверхностью тора. Рис. 414.

Через прямую АВ проведена горизонтально-проектирующая плоскость S' и построено сечение тора этой плоско­ стью [223].

Общие точки 1 и II сечения и прямой АВ — искомые [234].

л Г л а в а IX

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

239 Две кривые поверхности, пересекаясь между собой, обра­ зуют линии перехода.

В общем случае эти линии представляют собой простран­ ственные кривые, а при некоторых условиях они могут быть также и плоскими кривыми.

Для построения линии перехода определяют отдельные ее точки.

Построение этих точек производится методом вспомога­ тельных поверхностей. Обе данные поверхности Р[ и Р2 пере­ секают третьей поверхностью Р3 и строят линии Д и Д ее пе­ ресечения с Pi и Р2. Точка N пересечения этих линий являет­ ся искомой. Рис. 415. Выбор вспомогательных поверхностей определяется видом и взаимным расположением заданных по­ верхностей.

Для обеспечения точности и простоты построений вид вспомогательных поверхностей и их положение относительно заданных следует выбрать с таким расчетом, чтобы линии L[ и L2 оказывались простыми (прямыми или окружностями) и чтобы проекции этих линий было легко построить на эпюре.

Поэтому в качестве вспомогательных поверхностей применя­ ют плоскости, а при определенных условиях — сферы. Таким образом, общий метод построения линии перехода двух кри­ вых поверхностей распадается на два способа;

а) вспомогательных плоскостей;

б) вспомогательных сфер.

Так же как при построении сечений тел плоскостями, по­ строение линий перехода двух кривых поверхностей начинают с определения характерных (опорных) точек. 1\ их числу при­ надлежат точки, наиболее близкие к плоскостям проекций и наиболее удаленные от них, точки, разграничивающие види­ мость линии перехода, точки, принадлежащие очерковым об­ разующим пересекающихся поверхностей. Затем находят не­

- обходимое число промежуточных точек.

§ 53. Способ вспомогательных плоскостей 240 Этот способ применяют прежде всего в тех случаях, когда заданные поверхности не являются поверхностями вращения или если оси заданных поверхностей вращения не пересе­ каются.

Взаимное пересечение конических и цилиндрических поверхностей 241 Построение линий перехода двух конусов, цилиндра и ко­ нуса и двух цилиндров аналогично построению линии пересе­ чения двух многогранников с помощью простейших секущих плоскостей. [177, 178, 179]. • Вспомогательные плоскости проводят с таким расчетом, чтобы они либо пересекали обе поверхности по их образую­ щим, либо были касательными к одной из них (в частном слу­ чае плоскость може'г оказаться касательной и к обеим поверх­ ностям). Таким образом, задача сводится к построению то­ чек встречи образующих каждой из поверхностей с поверх­ ностью другого тела.

242 Взаимное пересечение двух конусов.

Так как все вспомогательные плоскости проводят через вершины конусов, то они пройдут через прямую S S х, соединя­ ющую вершины, а следы плоскостей пройдут через точку М— горизонтальный след прямой SSi [177].

На рис. 416 проведена плоскость R. пересекающая один из конусов по образующим SA и SB, а второй по образующим SjC и S,D. Точки I, II, III, IV пересечения этих образующих принадлежат искомой линии перехода [241].

Рис. 416.

243 Взаимное пересечение конуса и цилиндра.

Так как все вспомогательные плоскости должны прохо­ дить через вершину конуса и быть параллельными образую­ щим цилиндра, то они пройдут через прямую SM, проведен­ ную через вершину конуса параллельно образующим цилин­ дра, а следы плоскостей пройдут через точку М горизон­ тальный след этой прямой [178].

На рис. 417 показана одна из таких плоскостей — пло­ скость R, касающаяся конуса по образующей SA и пересека­ ющая цилиндр по образующим -В-1 и С-П. Точки I и II при­ надлежат линии перехода [241].

344 Взаимное пересечение двух цилиндров.

Так как все вспомогательные плоскости проводят парал­ лельно образующим обоих цилиндров, то каждая из этих пло­ скостей будет параллельна плоскости R, определяемой пересе­ кающимися прямыми РМ и РМЬ параллельными образующим заданных цилиндров [1 0 0 ]. ‘" На рис. 418 проведена плоскость S, пересекающая один из цилиндров по образующим А-1 и В-П, а второй по образую­ щим C-III и D-I. Точки I, II, III, IV пересечения этих образую­ щих принадлежат искомой линии перехода [241].

Рис. 418.

245 На рис. 419 показано построение линии перехода двух ко­ нусов вращения, оси которых являются скрещивающимися прям ыми.

Точки I и II, разграничивающие видимость линии перехода на плоскости V, построены с помощью фронтальной плоско­ сти Р, проведенной через очерковые образующие SA и SB и пересекающей второй конус по окружности с центром О [213].

1ак как эта окружность не пересекается с образующей SA, то последняя в пересечении не участвует. Точки III и IV, разгра­ ничивающие видимость линии перехода на плоскости Н, най­ дены с поглощыо плоскости Q, проходящей через очерковые образующие SiС и SiD и пересекающей другой конус по ок­ ружности с центром Оц Эта окружность пересекает лишь об­ разующую 8 3 следовательно, образующая SiD в пересечении С, не участвует.

Точки V и VI, VII и VIII определены с помощью горизонтальио-проектирующей плоскости R, проведенной через верши­ ны 8 и Si обоих конусов. Эта плоскость пересекает конус с вертикальной осью по образующим SE и SF, а конус с гори­ зонтальной осью по образующим SiK и SjL [214].

Применение проектирующих плоскостей для построения остальных точек линии перехода—нерационально, так как лю­ бая из них в пересечении с одним из конусов будет образо­ вывать лекальную кривую. Поэтому для определения точек IX, X и XI, XII применены простейшие секущие плоско­ сти Т и U.

Так, для построения точек IX и X проведена плоскость Т, определяющаяся пересекающимися прямыми: образующей SiN, проведенной по поверхности конуса с горизонтальной осью, и прямой SS 1, соединяющей вершины конусов [214]. Пло­ скость Т пересекает вертикально расположенный конус по об­ разующим SAL и SM3. Точки пересечения этих образующих с образующей SjN' — искомые Для построения точек XI и XII проведена плоскость U, оп­ ределяющаяся образующей SM b проведенной по поверхности, конуса с вертикальной осью и горизонтальным следом U „, проходяшщм через точки Mi и М4.

Дальнейшие построения сводятся к определению линии пе­ ресечения плоскости U с плоскостью основания горизонталь­ но расположенного конуса. Эта линия проходит через точки XIII и XIV, являющиеся точками пересечения прямых SALi и О н с указанной плоскостью, и пересекает основание в точ­ ках XV и XVI, а конус по образующим S r XV -и S r XVI. Точки пересечения этих образующих с образующей SM4 — иско­ мые [241]. ’ 246 На рис. 420 построена линия перехода кругового конуса и кольца [2 0 2 ], оси которых взаимно параллельны.

Гак как оси обоих тел перпендикулярны к плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода является кривой, симметричной относительно горизонта льно-проектирующей плоскости Р, проходящей через оси тел. В этой плоскости ле­ жат точки I и II, каждая из которых симметрична самой себе.

Плоскость Р рассекает конус по образующим SA и SB, [214], а кольцо — по образующей окружности с центром О. На пересечении этих линий и располагаются искомые точки. Для того чтобы избежать построения фронтальной проекции ука­ занной окружности ("так как она спроектируется на плоскость V в виде эллипса), эпюр преобразован в систему ^ (Xi[]PH) [131]. “ Из чертежа легко видеть, что образующая SB в пересече­ нии не участвует, а обе искомые точки I и II принадлежат об­ разующей SA. Заметим, что определение этих точек может быть также выполнено вращением плоскости Р, например, во­ круг оси кольца.

Точки III и IV, разграничивающие видимость линии пере­ хода на плоскости Н, найдены с помощью горизонтальной пло­ скости Q, пересекающей кольцо по экватору, а конус по парал­ лели с центром Oi [213].

Остальные обозначенные на чертеже точки V—XII по­ строены аналогично, с помощью горизонтальных плоскостей R, Т, U, N, пересекающих оба тела по их параллелям.

Видимость линии перехода на плоскости V разграничивает­ ся точками, расположенными на очерковой образующей SC.

В данном примере они определены приближенно, с учетом то­ го, что линия перехода касается образующей SC.

§ 54. Способ вспомогательных сфер 247 Две соосные (имеющие общую ось) поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых определяется числом точек пересечения главных меридианов [2 0 1 ] данных поверхностей.

Так, на рис. 421 конус и тор пересекаются по окружностям с центрами О и Оь так как точки I и II являются общими для их меридианов.

Если центр сферы расположен на оси поверхности врашения, то сфера будет соосна данной поверхности и пересечет ее по окружностям. Рис. 422.

На этом свойстве сферы и основан способ вспомогательных концентрических сфер.

Этот способ применяют для построения точек линии пере­ хода двух поверхностей вращения, если их оси: а) пересека­ ются между собой и б) параллельны плоскости проекций.

Второе условие— при наличии первого — выполняется пре­ образованием эпюра.

Заметим, что многие задачи из тех, в которых расположе­ ние осей пересекающихся поверхностей удовлетворяет изло­ женным требованиям, могут быть решены и способом вспомо­ гательных плоскостей.

Однако при некоторых условиях, определяемых видом пе­ ресекающихся поверхностей, задача может быть решена ра­ ционально только способом сфер.

Рис. 421. Рис. 422.

Кроме того, в определенных случаях применение способа сфер может оказаться предпочтительнее и в том смысле, что решение задачи выполняется на одной проекции.

Переходя к рассмотрению примеров, отметим одну особен­ ность проекций линии перехода поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны плоскости проекций. На эту плоскость она проектируется в линию, на которой ее види­ мая часть совпадает с невидимой; причем точки, разграничи­ вающие эти части, всегда расположены на очерковых образу­ ющих заданных поверхностей. Рис. 421, 422.

Указанное обстоятельство объясняется тем, что линия пе­ рехода симметрична относительно плоскости, в которой рас­ положены оси поверхностей.

248 На рис. 423 показано применение способа вспомогательных концентрических сфер на примере построения линии перехода поверхностей тора и конуса, оси которых пересекаются и па­ раллельны плоскости V.

Как в данном примере, так и при решении аналогичных за­ дач, важно определить предельные величины радиусов вспо­ могательных сфер. Максимальной величиной радиуса вспомо­ гательной сферы будет являться расстояние от общей точки осей пересекающихся поверхностей до наиболее удаленной от нее точки пересечения очерковых образующих.

Рис. 423 В данном случае точки I и II равноудалены от точки О.

Сфера, имеющая минимальный радиус, будет вписанной в одну из пересекающихся поверхностей.

В данном случае она оказывается вписанной в тор, так как сфера радиуса R0, вписанная в конус, для решения задачи не­ пригодна (она не пересекает тор).

Указанная сфера радиуса R2 пересекает тор (касается его) по окружности с центром О, а конус пересекает по окружности с центром Оь • Эти окружности, пересекаясь между собой, определяют точки III, 1ПЬ принадлежащие одновременно трем поверхно­ стям: сфере, тору и конусу, а следовательно,—линии перехода тора и конуса. Точка III и совпадающая с ней невидимая точ­ ка III] являются низшими точками линии перехода. Промежу­ точные точки IV, IV] и V, V[ определены с помощью сферы ра­ диуса R3, пересекающей тор по окружностям с центрами 0 2 и 0 3, а конус по окружности с центром 0 4 [247].

249 Если одной из пересекающихся поверхностей вращения яв­ ляется сфера, то линия перехода может быть построена как способом вспомогательных плоскостей, так и способом вспомо­ гательных концентрических сфер. На рис. 443 в качестве при­ мера приведено построение линии перехода прямого кругово­ го конуса и сферы. ' Низшая I и высшая II точки, расположенные в плоскости Р, являющейся плоскостью симметрии обоих тел, найдены путем преобразования эпюра в систему (ХфР,, ) [131].

—1 Н Точки III и IV построены с помощью плоскости R, прове­ денной через очерковые образующие конуса и пересекающие сферу по окружности радиуса ОА.

Для определения точек V и VI, принадлежащих главному меридиану сферы, проведена плоскость Т, пересекающая ко­ нус по гиперболе [216].

Так как в плоскости Р, параллельной плоскости V, можно провести бесчисленное множество осей данной сферы, кото­ рые будут пересекать ось конуса, то за центр вспомогательных сфер можно взять любую точку, лежащую на оси конуса.

Одна из таких сфер радиуса R проведена из точки 0 2, про­ извольно взятой на оси конуса. Эта сфера пересекает конус по окружности диаметра ВС, а сферу—по окружности диа­ метра DF. Построение проекций точек VII и VIII в системе Н выполнено с помощью параллели сферы.

В некоторых случаях для построения линии перехода д в у х кривых поверхностей в качестве вспомогательных применя­ ют э к с ц е н т р и ч е с к и е с ф е р ы.

На рис. 425 этим способом построена линия'перехода кру­ гового кольца и конуса. Ось конуса лежит в плоскости сред»

ней линии кольца.

Так как указанная плоскость, являющаяся плоскостью сим­ метрии обоих тел, параллельна плоскости V, то точки I и II принадлежат очерковым линиям.

Ось конуса пересекает среднюю линию кольца в точке О.

Фронтально-проектирующая плоскость Р, проведенная через эту точку и ось кольца IB, пересекает кольцо по окружности радиуса ОА. Вспомогательная сфера того же радиуса с цен­ тром в точке О пересекает кольцо (касается его) по указанной ’ 191 окружности, а конус по окружности радиуса ОiAi. Точки III и IV пересечения этих окружностей — искомые.

Плоскость R, проведенная, так же как и плоскость Р, через ось кольца, пересекает его по окружности радиуса ОгВ. Цент­ ром вспомогательной сферы в данном случае является точ­ ка 0 3 пересечения перпендикуляра к R V V, восстановленного K из точки 0 2, с осью конуса, а радиус сферы равен 0 3 В. Эта сфера пересекает кольцо по указанной окружности радиуса 0 2 В, а конус — по окружности радиуса 0 4Bi. Пересечение этих окружностей определяет искомые точки V и VI.

Повторяя описанное построение, находят необходимое чи­ сло точек линии перехода.

§ 55. О с о б ы й с л у ч а й п е р е с е ч е н и я к р и в ы х п о в е р х н о с т е й второго п орядка 251 Во всех рассмотренных выше случаях взаимного пересече­ ния кривых поверхностей (кроме пересечения двух соосных поверхностей вращения) липни перехода являются простран­ ственными кривыми. При взаимном пересечении двух кривых поверхностей второго порядка [194] могут образоваться линии перехода, представляющие собой две плоские кривые. Это возможно в тех случаях, когда две поверхности вращения вто­ рого порядка описаны около третьей или вписаны в нее.

На рис. 426—428 показано построение линии перехода двух цилиндров конуса и цилиндра и двух конусов. В каждом из примеров, оба пересекающихся тела описаны вокруг сферы.

Линии перехода представляют собой эллипсы AFBFiA и CFDFjC, пересекающиеся в точках F и F :, которые являются точками пересечения линий касания К 1К2 и Кз, К4 данных тел со вписанной в них сферой.

Указанный построения выполнены на основании теоремы Г. Монжа (1746—1818).

Рис. 426, 427, 428. Глава X

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

§ 56. Развертки многогранников 252 Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех гра­ ней поверхности с одной плоскостью.

Так как все грани многогранной поверхности изображаются па развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности—пло­ ских многоугольников.

253 Развертка пирамиды осуществляется в следующем по­ рядке:

а) определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов [46, 123, 138]. В данном случае (рис. 429) способом вращения [138] найдена длина боковых Рис. 429. 193 ребер и способом замены плоскостей проекций [123] определе­ на величина основания пирамиды;

б) по трем сторонам строят какую-либо боковую грань (например SAB), пристраивая к ней следующую (например SBC) и т. д.; '

в) достраивают основание пирамиды ABCD. (Для удоб­ ства построения оно разбито диагональю АС на два треуголь­ ника). ' Чтобы на развертке показать произвольную точку, принад­ лежащую поверхности пирамиды, надо:

а) через эту точку, например, К (рис. 429), по грани SAD провести прямую SM (целесообразно, чтобы прямая проходи­ ла через вершину S ) ; ’

б) построить эту прямую SM на развертке. Для этого на стороне АВ грани SAB развертки надо найти точку М, уда­ ленную от точки А на расстояние AM. (AM найдено способом замены плоскостей проекций);

в) определив истинную величину отрезка SK [138], необ­ ходимо отложить его на развертке от точки S по прямой SM.

–  –  –

) 254 Развертка призмы в общем случае (способ нормального сечения) осуществляется в следующем порядке;

а) преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы были параллельны новой плоскости проекций [123]. Рис. 430.

Тогда на эту плоскость (в данном случае на Vi) боковые реб­ ра спроектируютсяв истинную величину;

б) пересекая призму вспомогательной плоскостью Р, пер­ пендикулярной к ее боковым ребрам, строят проекции фигу­ ры нормального сечения (треугольник I, И, III);

в) определяют истинную величину этого сечения (в дан­ ном случае она найдена способом совмещения) [150];

г) строят отрезок I- Ь. равный периметру нормального сечения (полученный отрезок является разверткой нормально­ го сечения призмы). Рис. 431;

Рис. 131.

д) через точки I, 11, III и I проводят прямые, перпендику­ лярные к I—I, на которых откладывают соответствующие от­ резки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку I, отложены отрезки ID = 1/с1/ и IА = 1/ а /.

Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы;

е) достраивают основания призмы.

Чтобы на развертке призмы показать точку, принадлежа­ щую ее тюверхностн, надо:

а) через эту точку, например. К (рис. 431) по грани, на которой она расположена, провести прямую MN (целесообраз­ но, чтобы прямая была параллельна боковым ребрам призмы);

б) перенести эту прямую на развертку (в данном случае для этой цели использована точка Т, лежащая на стороне треугольника I, II, III); ‘

в) от точки М по прямой MN отложить отрезок МК, рав­ ный m'k'.

255 В частном случае, когда основание призмы на одну из пло­ скостей проекций проектируется в истинную величину, раз­ вертка ее боковой поверхности осуществляется способом рас­ катки. Этот способ заключается в следующем:

а) преобразуют эпюр так. чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций [123].

Рис. 432;

б) в новой системе — проводят некоторую фронтальную Н • плоскость Р (например, через ребро призмы AD) и совмеща­ ют с этой плоскостью боковую грань ADFB, вращая ее во­ круг AD;

в) при вращении грани (параллелограмма) вокруг сторо­ ны AD фронтальные проекции точек F и В (f/ и Ь/) переме­ щаются на эпюре по перпендикулярам к a / d / [133].

Так как после совмещения все стороны грани ADFB спроектируются без искажения, то вершины F и В окажутся уда­ ленными от неподвижных точек оси вращения а / и d / на рас­ стояние 1 = 1зь которое необходимо измерить на горизон­ ав тальной проекции призмы. Следовательно, засекая перпенди­ куляры, по которым перемещаются точки f,' и Ь/, дугой ра­ диуса Jab, можно получить искомые точки F и В;

г) следующую грань BFGC вращают вокруг ребра BF.

Па перпендикулярах, по которым перемещаются точки g / и с/, делаются засечки из точек F и В дугой радиуса Jbc=G|c и т. д.

Построение точки К, принадлежащей грани ADGC, на раз­ вертке ясно из чертежа (рис. 432). Предварительно через эту точку по грани ADGC параллельно боковым ребрам проведе­ на прямая MN, которая затем построена на развертке.

256 Развертка боковой поверхности любой призмы может быть выполнена также и следующим способом: каждая боко­ вая грань (параллелограмм) предварительно разбивается на две части — два треугольника. Определив истинную величину всех сторон каждой грани, а также величину их диагоналей, строят развертку граней по частям- по треугольникам.

257 Развертка боковой поверхности прямой призмы представ­ ляет собой прямоугольник, длина одной из сторон которого равна периметру основания призмы, а длина другой — высоте призмы. ' § 57. Развертки конусов и цилиндров 258 Развертка конуса (приближенная) осуществляется анало­ гично развертке пирамиды в следующем порядке:

а) в заданный конус вписывают «п» угольную пирамиду (число п следует брать не меньше 8);

б) строят развертку боковой поверхности вписанной пи­ рамиды;

в) соединив концы ребер плавной кривой, получают при­ ближенную развертку боковой поверхности конуса;

г) к развертке боковой поверхности достраивают осно­ вание.

На рис, 433 выполнено построение развертки наклонного эллиптического конуса, заданного круговым основанием, ле­ жащим в горизонтальной плоскости, и вершиной S [198].

Истинная величина боковых ребер вписанной восьмиуголь­ ной пирамиды найдена способом вращения [138].. Точка К, ле­ жащая на поверхности конуса, перенесена на развертку [253].

259 Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса (точная) представляет собой сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса L, а центральный у г о л этого о R3600 ' сектора q — --- —---.

Здесь R радиус основания конуса.

Рис. 433

260 Развертка цилиндра (приближенная) выполняется анало­ гично развертке призмы в следующем порядке:

а) в заданный цилиндр вписывают «п»-\толы1ую призму (число п следует брать не меньше 8):

б) строят развертку боковой поверхности призмы [254, 255]; о

в) соединив концы ребер призмы плавной кривой, полу­ чают развертку боковой поверхности цилиндра;

г) достраивают основания цилиндра.

Па рис. 434 выполнена развертка наклонного эллиптичес­ кого цилиндра, круговые основания которого параллельны плоскости Н [198].

Так как основания цилиндра изображены в натуральную величину, го для построения развертки использован способ раскатки [255].

Параллельность образующих цилиндра плоскости V дела ет возможным выполнить развертку без предварительной за­ мены плоскости проекций. Принадлежащая боковой поверх­ ности цилиндра точка К построена на развертке по аналогии с точкой, лежащей на поверхности призмы,

–  –  –

261 Развертка боковой поверхности прямого кругового цилин­ дра (точная) представляет собой прямоугольник, одна из сто­ рон которого равна длине окружности основания этого цилин­ д р а — 2.T.R а другая T, высоте цилиндра [257]..

§ 58. Развертка сферы 262 Так как сферическая поверхность принадлежит к числу неразвертываюгцихся [193], то возможна лишь ее приближенная развертка. С этой целью сферическая поверхность разбивается на ряд элементов, которые могут быть заменены либо цилин­ дрическими (первый способ развертки), либо коническими элементами (второй способ). Ниже рассматривается лишь первый способ приближенной развертки сферы.

Развертка сферы (приближенная) может быть выполнена в следующем порядке:

а) горизонтальную проекцию экватора сферы [200] р бивают на произвольное число равных частей и через полу­ ченные точки 1, 2, 3 и т. д. и центр О проводят горизонталь­ ные проекции меридианов [201]. Рис. 435;

–  –  –

('дано в набор 17/Х-66 г. Л 1000С2.

Подписано к печати 2/1-68 г.

Объем 12,75 печ. л.

Формат бумаги 60Х90!/нЗак. 1798. Тир. 800. Цена 42 к.

Типография М Н И Т.

Москва, ул. Образцова, 15.



Pages:     | 1 ||
Похожие работы:

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет телекоммуникаций Кафедра защиты информации С. Н...»

«Специальность «Транспортная логистика». Дисциплина «Информатика» Лабораторная работа 4. Инструменты анализа прикладных данных в MS Excel Цель работы:  1. Научиться устанавливать контроль ввода данных в MS Excel.  2. Научиться выполнять поиск нужной информации с помощью фил...»

«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(23) УДК 519.2 В.Б. Бериков КОЛЛЕКТИВ АЛГОРИТМОВ С ВЕСАМИ В КЛАСТЕРНОМ АНАЛИЗЕ РАЗНОРОДНЫХ ДАННЫХ1 Для кластерного анализа...»

«Анализ многомерных данных в задачах многопараметрической оптимизации с применением методов визуализации А.Е. Бондарев, В.А. Галактионов Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, Россия, Москва bond@keldys...»

«Единый государственный экзамен, 2005 г. Информатика, 11 класс. (1 1 ) «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки В.А. Болотов «_»_2004 г. Единый государственный экзамен по ИНФОРМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2005 г....»

«1Б УДК 681.3 В.В. Буча, С.В. Абламейко Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, г. Минск, Беларусь bucha@newman.bas-net.by Математическая морфология на сжатом бинарном растре: применение в ГИС Для повышени...»

«I. ИНФОРМАТИКА УДК 519.68: 681.513.7 КАК ОЦЕНИТЬ НАДЕЖНОСТЬ АЛГОРИТМА КЛАССИФИКАЦИИ. II. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ С.И. Гуров факультет ВМиК МГУ им. Ломоносова, г.Москва, Россия e-mail: sgur@cs.msu.su, gurov@ccas.ru Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 01 01 008851...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета прикладной информатики, профессор С.А. Курн...»

«Знания-Онтологии-Теории (ЗОНТ-09) Классификация математических документов с использованием составных ключевых терминов* В.Б.Барахнин1, 2, Д.А.Ткачев1 Институт вычислительных технологий СО РАН, пр. Академика Лаврентьева, д. 6, г. Новосибирск, Россия. Новосибирский госу...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» (УрГУПС) ПРИКАЗ г. Екатеринбург О введении в действие положения «Об отделе внедрения АСУФР»...»

«ЗАДАНИЯ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ЭТАПА ИНФОРМАТИКА Информатика 9 класс Время выполнения заданий: 180 минут Максимальное количество баллов – 100 Задание 1 (20 баллов). ПТИЦЫ Имя входного файла: стандартный ввод Имя выходного файла: стандартный вывод Ограничение по времени: 2 секунды Ограничение по памяти: 256 Мб Всеволод Юрьевич устроился р...»

«Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Методический материал в помощь кураторам (Рекомендовано отделом методической и воспитательной работы для внутреннего по...»

«Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математических методов прогнозирования Чиркова Надежда Александровна Иерархические тематические модели для интерактивно...»

«Речевые информационные технологии ОБ ОЦЕНКЕ ИНФОРМАТИВНОСТИ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ЧАСТОТНОГО АТЛАСА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ АРТИКУЛЯЦИОННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИКТОРОВ Д.т.н., профессор В.Р. Женило (Академия управления М...»

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ 2016, Т. 158, кн. 2 ISSN 1815-6088 (Print) С. 243–261 ISSN 2500-2198 (Online) УДК 519.63 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАДАЧ ДИФФУЗИОННОГО И КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА В СИЛЬНО ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ М.В. Васильева 1,2, В.И. Вас...»

«П. А. Колчин (аспирант), А. В. Суслов (к. филос. н., доцент) СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМАМ СОЦИАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ Москва, АБиК Минфина РФ, РГУИТП Важной чертой современной постнеклассической науки является усиление роли междисциплинарных исследований на основе системного подхода. Это связано, прежде всего, с тем, что современна...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II МГУПС (МИИТ) _ Кафедра «Геодезия, геоинформатика и навигация» У.Д. Ниязгулов «ПОСТРОЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПЕРСПЕКТИВЫ» Москва...»

«Программа внеурочной деятельности по информатике и ИКТ «Путешествие в Компьютерную Долину» А.Г. Паутова Целью программы внеурочной деятельности по информатике и ИКТ «Путешествие в Компьютерную Долину» является информационная поддержка проектной деятельности учащихся по всем предметам...»

«Методика обучения основам программирования учащихся начальных классов. Learning the basics of programming technique of primary school pupils. Ххх Ламия нусрат кызы, Ефимова Ирина Юрьевна Xxx Lamia Nusra...»

«Учебно – методический комплекс “Охрана труда” 1. Учебная программа, для Белорусского государственного университета по всем специальностям факультета прикладной математики и информатики.2. Примерный тематический план.3. Программа курса “Охрана труда” для студентов 5-ого курса ФПМИ.4. Содержание лекц...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и социальным вопросам А.А. Хмыль « 12 » _ 06 _ 2013 г. ПРОГРАММА дополнительного вступительного экзамен...»





















 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.