WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 |

«Кафедра «Графика» Л. И. Громов, А. И. Коровкин, В. Л. Николаев Утверждено редакционно-издательским советом института УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ...»

-- [ Страница 1 ] --

СССР

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО

КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ

ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра «Графика»

Л. И. Громов, А. И. Коровкин, В. Л. Николаев

Утверждено

редакционно-издательским

советом института

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ

ЗАНЯТИЙ В КЛАССАХ

ПРОГРАММИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ

Ортогональные проекции М о с к в а — 1968

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем учебном пособии, предназначенном для за ­ нятий в классах программированного обучения, изложен курс ортогональных проекций в объеме, предусмотренном про­ граммами по начертательной геометрии для механических и строительных специальностей высших технических учебных заведений.

Учебный материал в данном пособии, помимо обычного членения по темам на главы и параграфы, разделен на отдель­ ные, связанные между собой, логически завершенные дозы ин­ формации. Каждая из них имеет свой порядковый номер (по­ зицию).

Усвоение каждой последующей дозы определяется твердым знанием предыдущего материала. Возникшие затруднения, как при усвоении тех или иных теоретических положений, так и при решении конкретных задач, необходимо преодолеть, повторив недостаточно усвоенный предыдущий материал, ука­ занный цифровыми ссылками, заключенными в квадратные скобки.

Использование настоящего пособия предусматривает одно­ временное решение задач по рабочей тетради для классов программированного обучения, составленной преподавателя­ ми кафедры «Графика» МИИТа. Пособие может быть также использовано и для самостоятельного изучения курса вне классов программированного обучения.

При составлении пособия авторы распределили между со­ бой работу следующим образом: главы III и IV написаны Гро­ мовым Л. ГГ, главы I, V, VIII и I X — Коровкиным Л. ГГ, гла­ вы 11, VI, VII и X — Николаевым В. Л.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

§ I. Ортогональная система двух плоскостей проекций Эпюр точки I Точка а пересечения проектирующей прямой N с плос­ костью проекций Н называется проекцией точки А на эту плос­ кость. Рис, I. Проекция называется ортогональной (прямо­ угольной), если проектирующая прямая перпендикулярна к плоскости проекций.

/V I 6 О- ь - с V Рис. 1. Рис. 2.

Но та же точка а представляет собой проекцию любой точ­ ки (например В или С), расположенной на проектирующей прямой. Рис. 1.

Следовательно, проекция точки на одну плоскость проек­ ций не определяет положения точки в пространстве.

Для того чтобы на чертеже однозначно определить поло­ жение данной точки пространства, ее проектируют на две вза­ имно перпендикулярные плоскости проекций. Одну из этих плоскостей располагают вертикально (фронтально) и назы­ вают фронтальной плоскостью проекций (V), а вторую — го­ ризонтально и называют горизонтальной плоскостью проекций (II). Линию пересечения этих плоскостей называют осью проекций (X ). Рис. 2.

Плоскости V и Н делят пространство на четыре двугран­ ных угла или четверти:

первая четверть ограничена верхней полуплоскостью V и передней полуплоскостью Н;

вторая четверть — верхней полуплоскостью V и задней по­ луплоскостью Н;

третья четверть нижней полуплоскостью V и задней по­ луплоскостью Н:

четвертая четверть — нижней полуплоскостью Y и перед­ ней полуплоскостью Н.

Плоскости V и Н считают непрозрачными, при этом ви­ димыми будут те проектируемые точки, которые расположе­ ны п пределах первой четверти Пусть некоторая точка Л расположена в I четверти про­ странства. Рис. 3.

Проектирующие прямые S и Т, проведенные через точку Л соответственно перпендикулярно плоскостям проекций V и Н, определяют плоскость Р. перпендикулярную к этим плоско­ стям, а также к линии их пересечения оси X.

Плоскость Р пересечет плоскости V н II по прямым а* а и а * а, образующим с осью X. а также между собой прямые углы с вершиной в точке а 2.

90'

–  –  –

На этих прямых и будут располагаться: фронтальная а' и горизонтальная а проекции точки А.

Итак, в ортогональной системе плоскостей проекций проек­ ции точки располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих ее в одной и той же точке.

Из рис. 3 нетрудно заключить и обратное: если на плоско­ стях проекций взять некоторые точки а7 и а. расположенные на прямых, перпендикулярных к осп X и пересекающих ее в одной точке а,. то эти точки будут являться проекциями един­ ственной точки А, определяемой пересечением перпендикуля­ ров, восставленных из точек а' и а соответственно к плоско­ стям V и Н.

4 Для получения эпюра точки (плоского чертежа) пло­ скость II вращением вокруг оси X совмещают с плоско­ стью V следующим образом: передняя полуплоскость Н сов­ ' мещается с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплос­ кость Н совмещается с верхней полуплоскостью V.

При этом фронтальная и горизонтальная проекции точки расположатся на одном перпендикуляре (линии проекционной связи) к оси X. Рнс. 4.

Расстояния проекций точки от оси X определят расстояния точки от плоскостей проекции:

a av — расстояние точки А от плоскости V;

а ’ах — расстояние точки А от плоскости Н. Рис. 3 и 4.

Если расстояния точки от плоскостей проекций равны меж­ ду собой, то будут равны и расстояния ее проекции от оси X.

5 Расположение проекций точки на эпюре будет меняться в зависимости от положения точки в пространстве: так фрон­ тальная проекция точки, расположенной в 1 четверти, будет на­ ходиться на верхней полуплоскости V (выше оси X), а гори­ зонтальная- на передней полуплоскости II (ниже оси X).

Рис. 4[4].

6 Для точки В, расположенной во II четверти, фронтальная проекция I/ будет находиться на верхней полуплоскости V (выше осп X), горизонтальная Ь на задней полуплоскости И (выше оси X). Рис. 5, 6 [4].

Ч‘

–  –  –

У точки расположенной в III четверти, фронтальная проекция с будет находиться на нижней полуплоскости V (ниже оси X), горизонтальная с на задней полуплоскости II (выше осп X ). Рис. 7, 8 [4].

ходиться: фронтальная d'- -на нижнем полуплоскости V (ниже оси X), горизонтальная cl- на передней полуплоскости PI (нпже оси X ). Рис. 9, 10 [4].

9 Оценка относительного положения точек в пространстве оп­ ределяется не только их положением в различных четвертях пространства, но и их расстояниями от плоскостей проекций.

Так, например, обе точки: Е и F, представленные на рис. 11, расположены во II четверти [61.

–  –  –

11 Если расстояние точки от какой-либо плоскости проекций равно пулю, то точка совпадает со своей проекцией на эту плоскость, а вторая ее проекция расположится на осп X. Точ­ ка А расположена па верхней полуплоскости V. Рис. 14 [4].

Точка В лежит на нижней полуплоскости V. Рис. 15.

Точка С находится на передней полуплоскости II. Рис. 16.

J оч кa D расположена на задней полуплоскости 11. Рис- 17.

Точка Е, расстояния которой от плоскостей проекций рав­ ны нулю, расположится на оси проекций и совпадет со свои­ ми проекциями. Рис. 18.

–  –  –

Плоскости проекции V, Н и W, пересекаясь между собой, образуют оси проекций X, У, Z, которые могут быть приняты за систему прямоугольных осей координат с началом в точ­ ке О и знаками, указанными на рис. 19.

Плоскости проекций V, Н и W делят пространство на во­ семь трехгранных углов — октантов с нумерацией, показанной на рис. 19. Видимыми считают точки, расположенные в преде­ лах 1 октанта.

13 Для получения эпюра плоскость Н вращением вокруг оси X совмещают с плоскостью V [4]; вращением вокруг оси Z совмещают с плоскостью V и плоскость W, при этом ее перед­ няя полуплоскость совместится с правой, а задняя с левой по­ луплоскостями V. При совмещении плоскостей оси X и Z ос­ танутся неподвижными.

Что касается оси У, то она, вращаясь в плоскости Н, сов­ местится с осью Z, а при вращении в плоскости W совмес­ тится с осью X. Рис. 20.

14 На рис. 21, 22 приведено построение эпюра точки в системе 3 плоскостей проекций. Точка А расположена в 1 октанте.

В § 1 было показано, что на эпюре фронтальная и горизон­ тальная проекции точки располагаются на одном перпендику­ ляре к оси X [4]. Рассуждая аналогично, отметим, что на эпю­ ре фронтальная а'и профильная а " проекции точки располо­ жатся на одном перпендикуляре (линии проекционной связи) к оси Z. Что касается горизонтальной и профильной проекции, то они будут располагаться на ппямых аау и а’'., перпендику­ лярных к осп Y, причем Оау на Y,, = 0’ау на Yw [3].

В системе трех плоскостей проекций положение точки в пространстве определяется ее расстояниями от трех плоско стей проекций V, II и W.

а ах — а"а7- расстояние от плоскости \', — а'ах а"ау— расстояние от плоскости II, а 'а, a a v - расстояние от плоскости W.

§ 3. Три координаты и три проекции точки 15 Положение точки в пространстве можно также определить тремя отрезками на осях проекций (координат) X, У, Z.

В самом деле: отрезки (1ах. Оау, 0 а 7 определяют расстоя­ ния точки А соответственно от плоскостей W. Y и Н. Рис. 21, 22.

Эти три величины, выраженные числами называются коорди­ натами точки: X. У, Z.

Координаты точки принято записывать следующим обра­ зом: А (30. 50, 40), где первое число координата X, второе координата У. третье координата Z.

Каждая из проекций точки на эпюре определяется двумя координатами:

горизонтальная координатами X и У:

фронтальная координатами X и Z:

профильная координатами У и Z.

Усвоив порядок совмещения плоскостей проекций и знаки всей проекций [13], можно по данным координатам точки пред­ ставить се положение в пространстве, а также построить эпюр точки.

§ 4. Эпюры точек, расположенных в различных октантах пространства 16 Пусть некоторая точка задана в пространстве своими коор­ динатами- А (20, 15, 20). Знаки координат показывают, что точка А расположена в 1 октанте [13]. Для получения па эпюре проекций точки Л, нужно на осях проекций (координат) от точки О отложить в определенном масштабе заданные рассто­ яния и через полученные точки а х, ау и az провести линии проекционной связи. Эти линии, попарно пересекаясь между собой, определят проекции точки А. Рис. 23, 24.

17 Аналотчно строятся эпюры точек, расположенных в дру­ гих октантах. Пели при положительных координатах X и Z, координата У некоторой точки отрицательна: В (30 15. 20), то точка расположена во II октанте. Рис. 25. 26 [13. 15].

Если точка расположена во II октанте и равноудалена от плоскостей V, Н и W: С (20—20, 20), то все три проекции точ­ ки совпадут. Рис. 27.

–  –  –

Проектирующая плоскость определяется совокупностью проектирующих прямых Аа, ВЬ... [1], проходящих через каж­ дую точку прямой АВ. Итак, проекцией прямой в общем слу­ чае является прямая линия. Нетрудно показать, что проекция любой точки прямой (например С) лежит на проекции этой прямой.

Чтобы построить проекцию прямой, надо построить проек­ ции двух ее точек [3].

26 Одна проекция прямой не определяет ее положение в про­ странстве [1]. Наличие двух проекций определяет прямую как линию пересечения проектирующих плоскостей Р и Q. Рис. 42 Здесь: ab — горизонтальная проекция прямой, а'Ь '— фрон­ тальная.

27 Профильная проекция прямой строится по фронтальной и горизонтальной проекциям этой прямой. Рис. 43 [14].

–  –  –

28 В зависимости от положения относительно плоскостей про­ екций прямая линия может быть общего и частного поло­ жения. Прямая общею положения не параллельна ни одной

и) плоскостей проекций (рис. 42). Проекции такой прямой не параллельны осям проекций. Рис. 43.

Прямой частного положения называется прямая, парал­ лельная или перпендикулярная к плоскости проекций (или лежащая в ней).

29 Прямая, параллельная плоскости Н или лежащая в ней, называется горизонтальной прямой. Рис. 44.

Так как координаты Z[15] всех точек та кой прямой равны, фронтальная проекция ее параллельна оси X (рис. 45) или лежит на оси X (рис. 46), если линия расположена п плоское* тп II [11].

–  –  –

30 Прямая, параллельная плоскости Y или лежащая и ней, называется фронтальной прямой. Рис. 47.

Так как координаты У [15] всех точек такой прямой равны, горизонтальная проекция ее параллельна оси X (рис. 48) или лежит на оси X (рис. 49), если линия расположена в плос­ кости V.

31 Пр ямая, параллельная плоскости W или лежащая в ней, называется профильной прямой. Рис. 50.

–  –  –

Так как координаты X [15] всех точек такой прямой равны, горизонтальная к фронтальная проекции ее перпендикулярны оси X. Рис. 51. 52. Поднимающаяся по мере приближения к плоскости V профильная прямая называется восходящей (рис. 51), опускающаяся нисходящей. Рис. 53.

–  –  –

Рис. 54, 55, 56.

прямые проектируются в точку Фронтальная и профильная проекции первой из них параллельны оси Z, горизонтальная и профильная второй — параллельны оси У. Фронтальная и горизонтальная проекции последней параллельны оси X.

33 Отрезок прямой, параллельной плоскости проекций [29— проектируется на эту плоскость без искажения. Без иска­ жения проектируются и углы наклона этой прямой к двум дру­ гим плоскостям проекций: и угол наклона прямой к плоско­ сти Н; (4: к плоскости V; у -к плоскости W. Рис. 44—52.

§ 7. Взаимное положение точки и прямой линии 34 Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны ле­ жать на одноименных проекциях этой прямой [25].

Из трех точек С, D и Е, указанных на рис. 57, лишь одна С лежит на прямой АВ.

Поэтому, чтобы через данную точку провести прямую, надо через проекции этой точки провести одноименные проекции прямой.

В тех случаях, когда две проекции точки лежат на однои­ менных проекциях прямой, параллельной какой-либо плоско­ сти проекций, для суждения о принадлежности точки этой прямой достаточно построить их третьи проекции. Так на рис.

58 построение профильных проекций точки N и прямой CD по­ казывает, что точка N не принадлежит прямой CD.

Рис. 57. Рис. 58.

§ 8. Деление отрезка прямой линии в данном отношении

–  –  –

36 Следом прямой линии называется точка пересечения пря­ мой с плоскостью проекций. Рис. 60.

В пересечении прямой с плоскостью Н расположен гори­ зонтальный след М ( т, пГ, т " ), с плоскостью V — фронталь­ ный N (п, п7 п "), а с плоскостью W — профильный Т (t, Г, t").

, След прямой является точкой, одновременно принадлежа­ щей как самой прямой [34], так и плоскости проекций [11].

37 Чтобы построить горизонтальный след прямой (рис. 61), на­ до найти точку пересечения фронтальной проекции прямой (или ее продолжения) с осью X и ил нее восставить перпенди­ куляр к этой оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (или ее продолжением). В этой точке будет находить­ ся горизонтальный след прямой М и его горизонтальная про­ екция т.

Фронтальная проекция горизонтального следа пт' лежит на оси X.

Рис. 60 Рис. 61.

38 Чтобы найти фронтальный след прямой (рис. 62), надо найти точку пересечения горизонтальной проекции прямой (или ее продолжения) с осью X и из этой точки восставить перпендикуляр к оси X до пересечения с фронтальной проек­ цией прямой (или ее продолжением). Здесь будет находиться фронтальный след N и его фронтальная проекция п'. Горизон­ тальная проекция п — расположена на оси X.

39 Для построения профильного следа продолжают фронталь­ ную проекцию прямой (рис. 63) до пересечения с осью Z, а затем из полученной точки восставляют перпендикуляр к этой оси до пересечения с профильной проекцией прямой. В этой точке находится профильный след прямой Т и его профильная проекция t" Фронтальная проекция t' — на осп Z.

Построение профильного следа может быть выполнено и иначе. Определив горизонтальную и фронтальную проекции профильного следа i и Р. находят профильную проекцию сле­ да {" и сам след Т. Рис. 63.

–  –  –

41 Прямая, параллельная плоскости проекций, не имеет спа­ да на этой плоскости [36]. Так профильная прямая (рис. 64) не имеет профильного следа.

42 Следы прямой делят ее на части, расположенные в разных четвертях (октантах) пространства.

Так прямая АВ (рис. 60 и 64), пересекая плоскость Н в точке М, переходит из первой четверти в четвертую, а пересе­ кая плоскость Y в точке N, уходит во вторую четверть.

Участок прямой, находящийся в первой четверти (в дан­ ном случае отрезок MN), принято считать видимым.

§ 10 Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона его к плоскостям проекций 43 Длина отрезка АВ прямой общего положения (рис. 66) мо­ жет быть определена из прямоугольного треугольника АВВ).

Катет АВ| этого треугольника равен горизонтальной проекции ab, а катет В В i разности расстояний концов отрезка АВ от плоскости Н (BB) = Bb—Аа = b'bx—а'н*=/ц —г.\ ).

Угол и в прямоугольном треугольнике АВВ) определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости проекций II.

Определение истинной величины отрезка АВ и угла накло­ на его к плоскости I! на эшоре показано на рис. 66.

На перпендикуляре, восстав,ленном из точки b к горизон­ тальной проекции ab, отложен отрезок, равный разности Zn— zA = b'bx — а'ах. Гипотенуза а (В) прямоугольного треуголь­ ника ab(B) определяет истинную длину отрезка АВ, а угол ч, расположенный между этой гипотенузой и катетом проекци­ ей ab наклон АВ к плоскости Н, 44 Длину отрезка АВ прямой общего положения можно так* же определить из прямоугольного треугольника АВАЬ Рис. 67.

Катет BAi этого треугольника равен фронтальной проек­ ции a'b', а катет AAi — разности расстояний концов отрезка АВ от плоскости V (А А |= А а'—В Ь '= а а х—ЬЬх= уА —ув).

Угол р в треугольнике АВА. определяет угол наклона in резка прямой АВ к плоскости V.

Определение истинной величины отрезка АВ и угла накло­ на его к плоскости У на эпюре показано на рис. 68 (прямо­ угольный треугольник а'Ь'(А) построен на фронтальной про­ екции). ‘ 45 Аналогичные построения [43, 44] для определения истинной длины отрезка АВ можно выполнить, использовав в качестве одного из катетов профильную проекцию а"Ь". Рис. 69.

Тогда второй катет а"(А) прямоугольного треугольника а"Ь"(А) будет равен разности хЛ — хв, а гипотенуза Ь"(А) равна истинной длине АВ. Угол у определяет наклон этой пря­ мой к плоскости W.

46 Итак, длина отрезка прямой общего положения равна ги­ потенузе прямоугольного треугольника, одним катетом кото­ рого является проекция отрезка на любую плоскость проекций, а другим разность (алгебраическая, рис. 69) расстояний концов отрезка от той же плоскости.

Угол между катетом проекцией и гипотенузой равен уг­ лу наклона отрезка к той плоскости проекций, в которой ле­ жит этот катет [43, 44, 45].

§ 11. Взаимное расположение двух прямых линий 47 Известно, что две прямые по отношению друг к другу мо­ гут быть в пространстве пересекающимися, взаимно-парал­ лельными и скрещивающимися.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку, поэто­ му точки пересечения их одноименных проекций должны нахо­ диться на одном перпендикуляре к оси проекций. Рис. 70 [34J.

*

Рис. 70. Рис. 71.

В тех случаях, когда одна из прямых параллельна какойлибо плоскости проекций, для суждения о взаимном пересече­ нии этих прямых достаточно построить их третьи проекции.

Так, на рис. 71 построение профильных проекций прямых АВ п CD показывает, что эти прямые не имеют общей точки, а поэтому не пересекаются.

48 Одноименные проекции параллельных прямых на любую плоскость взаимно параллельны (как линии пересечения двух параллельных проектирующих плоскоеiей Р и Q [25] третьей плоскостью, например II). 72. 73.

–  –  –

Чтобы через точку К провести прямую, парам тельную тай­ ной прямой АВ, надо через фронтальную проекцию е' парал­ лельно я' I/ провести фронтальную проекцию и через горизон­ тальную проекцию е параллельно аЬ провести горизонтальную проекцию искомой прямой Рис. 74.

–  –  –

В тех случаях, когда обе прямые параллельны какой-либо одной плоскости проекций, для суждения о взаимной парал­ лельности этих прямых достаточно построить их третьи проевими. Так на рис. 75 построение профильных проекций прямых АВ и СО показывает, что АВ не параллельна прямой СО.

49 Скрещивающиеся прямые (рис. 76) не имеют общей точки и поэтому точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одном перпендикуляре к оси проекций. Рис, 77.

Рмс. 76, 77.

В месте пересечения горизонтальных проекций ab п cd скре­ щивающихся прямых расположены проекции двух так назы­ ваемых конкурирующих по видимости относительно плоскости Н точек (рис. 77). Первая из них Е принадлежит прямой АВ, а вторая F — прямой CD. Горизонтальные проекции этих то­ чек совпадают потому, что они лежат на одной горизонталь­ но проектирующей прямой S [ 1, 32]. Фронтальная проекция S' такой прямой позволяет определить, какая из точек (Е или Г ) находится выше относительно плоскости II. В данном случае точка Е, расположенная на прямой АВ, находится выше точ­ ки F, принадлежащей прямой CD, Прямая АВ проходит над прямой CD.

В месте пересечения фронтальных проекций а' Ь' и с' !' скрещивающихся прямых расположены проекции двух других конкурирующих точек (рис. 78). из которых первая С принад­ лежит прямой АВ, а вторая К прямой CD.

Фронтальные проекции этих точек совпадают потому, что они лежат на одной фронтально-проектирхющей прямой Sj [32].

Горизонтальная проекция Sj такой прямой позволяет оп­ ределить какая из точек (С или К) находится дальше относи­ тельно плоскости V.

В данном случае точка К, расположенная на прямой СП, удалена дальше от плоскости V, чем точка С, принадлежащая прямой АВ. Аналогично определяется видимость точек скре­ щивающихся прямых относительно плоскости проекции W.

§ 12. О проекциях прямых углов 50 Проекции произвольно расположенного в пространстве прямого угла в общем случае не являются прямыми углами.

Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проектируется без искажения. Рис. 79, 80.

Л

–  –  –

В данном случае угол сЬа равен 90', так как сторона CR прямого угла С.ВА параллельна плоскости Н.

Доказательство: прямая СВ перпендикулярна к плоскости АВЬа, так как она перпендикулярна к прямым АВ и ВЬ этой плоскости. Но гак как прямая СВ параллельна сЬ, то послед­ няя тоже перпендикулярна к плоскости АВЬа, а следователь­ но, и к ab.

51 Прямой угол EFD (рис, 81) спроектировался без искаже­ ния на плоскость (е' Г (Г = 90°), так как одна из его сторон ЕЕ параллельна этой плоскости [50].

Рис. 81. Рис. 82.

52 На построении проекций прямого угла, одна из сторон ко­ торого параллельна плоскости проекций, основано решение ряда задач. Некоторые из них рассмотрены ниже.

а) Из точки А опустить перпендикуляр на прямую ВС.

Рис. 82. Так как прямая ВС. параллельна плоскости проек­ ций V, прямой угол, образованный этой прямой и перпендику­ ляром АК, опущенным из точки А, спроектируется без иска­ жения на плоскость V ( a V i - b V ). Горизонтальная проекция перпендикуляра ак, параллельного плоскости Н [29], опреде­ ляет истинную величину этого перпендикуляра [33].

б) Определить расстояние от точки А до прямой EF.

Рис. 83. Так как EF параллельна плоскости проекций Н, пря­ мой угол, образованный этой прямой и перпендикуляром АК, опущенным на нее, спроектируется без искажения на плос­ кость Н.

В связи с чтим горизонтальная проекция перпендикуляра ак проведена перпендикулярно к ef. Точка к' (найденная на еТ) и точка а' определяют фронтальную проекцию перпенди­ куляра а'к'. Истинная величина отрезка А К найдена способом прямоугольного треугольника 14В]. Длина чтого отрезка опре­ деляет искомое расстояние.

§ 13. Тень от точки на плоскости проекций 53 Тень ог точки на плоскости проекций определяется как след прямой линии [3G], проходящей через данную точку и па­ раллельной направлению светового луча. Рис. 84.

Обычно направление светового луча принимают параллель­ ным одной из диагоналей куба, две грани которого совмеще­ ны с плоскостями проекций. Рис. 85. При этом горизонтальная и фронтальная проекции направления светового луча состав­ ляют с осыо X углы по 45°. Рис. 86.

54 Чтобы построить тень от точки, мало через эту точку про­ нести прямую, параллельную направлению светового луча [48], а затем определить следы этой прямой [37, 38]. Рис. 87, 88.

Если данная точка лежит в первой четверти (октанте), то ближайший к ней по направлению светового луча след пред­ ставляет собой видимую действительную тень от этой точки (точка А„ ) (рис. 87, 88). Остальные следы прямой определя­ ют невидимые (Ау ) или мнимые (Aw) тени.

Точки, лежащие в других четвертях (октантах), не имеют действительной тени. Рис. 89.

Г л а в а III

–  –  –

Перечисленные способ : задания плоскости равноценны, и от каждого и i них легко перейти к любому другому.

\ ь Плоскость может быть задана плоской фигурой (треуголь­ ником, квадратом, кругом и т п.), что по сравнению со спосо­ бами, приведенными на рис. 90 93, имеет большую нагляд­ ность. На рис. 94 плоскость задана проекциями треугольника АВС, 56 Плоскость, простираясь во все стороны пространства, пе­ ресекает плоскости ill лекций по прямым линиям, образуя сле­ ды плоскости. Следы плоскости обозначают той же буквой, что и плоскость с добавлением индекса II, Y или W в зависи­ мости от того, какую плоскость проекций она пересекает. Пло­ скость Р (рис. 95 и 96), не перпендикулярная ни к одной плос­ кости проекций, имеет три следа: горизонтальный - Р н, фрон­ тальный • P v и профильный Pw и называется плоскостью — общего положения.

Следы Р,„ Ру и Pw, попарно пересекаясь на соответствую­ щих осях проекций, образуют точки P X, P V и Рг, которые на­ зываются точками схода следов плоскости.

Рис. 95. 95.

Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся или параллельные прямые за исключением отдельных частных слу­ чаев, одназначно определяют положение плоскости в про­ странстве.

57 Построение третьего следа плоскости, заданной двумя сле­ дами, обычно сводится к определению двух точек схода сле­ дов, определяющих его положение.

Так, на рис/97 и 98 для построения профильного следа плоскости Q, заданной следами ф)н и Qv, были определены точки Qy и Qz и через них проведен след Qw.

При задании плоскости следами имеют в виду, что одна из проекций каждого следа плоскости сливается с одноименным следом, а две другие располагаются па соответствующих осях проекций.

Так, фронтальная проекция фронтального следа плоско­ сти Q сливается с Qv, горизонтальная располагается на.

оси X, а профильная на оси Z [30].

–  –  –

§ 15. Различные положения плоскости относите.,но плоскостей проекций Плоскость может занимать общее и частное поло,, -ние от­ носительно плоскостей проекций.

1.,Плоскость, lie перпендикулярную, а следоватед; но, и не параллельную ни к одной из плоскостей проекций, отзывают плоскостью общего положения. Такая плоскость рас. ютрена в предыдущем параграфе и на рис. 90—93 приведен;, различ­ ные способы ее задания на эпюре

2. Плоскость, перпендикулярную к одной из плоскостей проекций, называют проектирующей.

Проектирующая плоскость обладает гем свойством, что все ее точки проектируются на плоскость проекций ей перпенди­ кулярную в прямую линию. Различают три вида таких плос« костей;

а) плоскость, перпендикулярная к гори шнгалыый плос­ кости проекций, называегея ; оризоитально-проектирующей.

Рис. 99 и 100. Отличительной особенностью такой плоскости является то, что i оризонтальные проекции точек, прямых ли­ ний или фигур, лежащих в плоскости, располагаются на од­ ной прямой линии 0 „, являющейся ее горизонтальным следом [56]. Фронтальный Qv и профильный Qw следы, как линии пе­ ресечения плоскости Q с плоскостями проекций V a W, перпендикулярны к Н и соответственно к осям проекций X и Y.

Углы р н у, определяющие наклон плоскости Q к плоскостям проекций V и W, проектируются на плоскость Н без иска­ жения;

проекции, называется фронтально-проектирующей. Рис. 101 и 102, Признаком фронтально-проектирующей плоскости.яв­ ляется то, что фронтальные проекции точек, прямых линий или фигур, лежащих в плоскости, располагаются на одной прямой линии R,, являющейся ее фронтальным следом [5GJ Горизонтальный RH и профильный следы, как линии пе­ ресечения плоскости R с плоскостями проекций II и W, перпен­ дикулярны к \' и соответственно к осям проекций X и Z. Углы а и у. которые плоскость R составляет с плоскостями проекций Н и W, проектируются на плоскость \ ’ без искажения;

в) плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекции, называется профильно-проектирующей. Рис. 103 и

104. Для профильно-проектирующей плоскости обязательно условие, чтобы профильные проекции точек, прямых линий и плоских фигур, лежащих в ней, располагались на прямой ли­ нии S w являющейся ее профильным следом [56].

,

–  –  –

Горизонтальный S H и фронтальный S v следы, как линии пересечения плоскости S с плоскостями проекций И и V, пер­ пендикулярны к плоскости W и соответственно к осям проек­ ций Y и Z и параллельны оси X. Углы о и [1 которые плос­ с кость S образует с плоскостями проекции 11 и Y, проектиру­ ются на плоскость W без искажения.

Если проектирующая плоскость проходит через ось проек­ ций, ее называют осевой плоскостью.

. Два следа любой осевой плоскости сливаются с соответ­ ствующей осью проекций. На рис. 105 и 106 приведена профильно-проектирующая плоскость S, проходящая через ось X Следы S„ и Sv сливаются с осью проекций.

Для построения третьего, не сливающегося с осью проек­ ций, следа плоскости обычно задается угол наклона этой плос­ кости к одной из плоскостей проекций пли положение точки, лежащей в данной плоскости. На рис. 105 и 106 профильный след плоскости построен с помощью точки А, лежащей в плос­ кости S. По данным горизонтальной и фронтальной проекциям точки А построена ее профильная проекция — а", и через точ­ ки Ру= Рг, совпадающие с началом координат, и а" проведен профильный Sw след плоскости.

Осевая плоскость, делящая двугранный угол между плос­ костями проекций пополам, называется биссекторной.

Не сливающийся с осью проекций след биссекторной плос­ кости является биссектрисой угла между двумя другими осями проекций 63 III. Плоскость, перпендикулярная к двум плоскостям про­ екций, является дважды проектирующей плоскостью, а так как она параллельна третьей плоскости проекций, ее называют плоскостью уровня. Различают три вида таких плоскостей.

а) плоскость, перпендикулярная к плоскостям V и W и

•Параллельная плоскости Н, называется горизонтальной плос­ костью. Рис. 1С7 и 108.

с 'Г а' Т ь с' ь‘ у 1 »У1 ?— "1 ш Фронтальные и профильные проекции точек, линий или фи­ гур, лежащих в горизонтальной плоскости, располагаются на прямых линиях соответственно параллельных осям проекций X и Y и сливающихся с одноименными Tv и T w следами плос­ кости.

Горизонтальные проекции прямых линий и фигур равны их истинной величине;

64 б) плоскость, перпендикулярная к плоскостям Н и W и параллельная плоскости V, называется фронтальной плоско­ стью. Рис. 109 и 110.

–  –  –

Горизонтальные и профильные проекции точек, линий или фигур, лежащих во фронтальной плоскости, располагаются на прямых линиях, соответственно параллельных осям проекции X и Z и сливающихся с одноименными UH и Uw следами плоскости. Фронтальные проекции прямых линий и фигур равны их истинной величине;

65 в) плоскость, перпендикулярная плоскостям Н и V и па­ раллельная плоскости W, называется профильной плоскостью.

Рис. 111 и 112.

Горизонтальные и фронтальные проекции точек, линий или фигур, лежащих в такой плоскости, располагаются на прямых линиях, соответственно параллельных осям проекций Y и Z и сливающихся с одноименными FH и F v следами плоскости.

Профильные проекции прямых линий н фигур равны их нс* тинной величине.

§ 16. Прямая и точка, лежащая в плоскости 6S Известно, что прямая линия лежит в плоскости в том случае:

а) если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

б) если она проходит через точку, принадлежащую плос­ кости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости (или ей параллельной).

–  –  –

На рис. ИЗ показана прямая линия I - II, лежащая в плос­ кости, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВС [55].

Прямая I—II лежит п этой плоскости потому, что точки I и II принадлежат соответственно прямым АВ и ВС [34].

67 Если построить следы некоторой прямой линии АВ, лежи­ т е и в плоскости Р. сад л,нон слетами Грис. 114 и 115), то го­ ри.житель'!; ' ч след прямой - сочка М [37] окажется на Р и, а фронтальны Г тсс да N [38]— на Р,.

:

–  –  –

Таким пиратом: если прямая линия лежит в плоскости, то ее следы располагаются на одноименных следах этой плос­ кости.

68 Ичвеетни. что нее точки прямой линии, лежащей в плос­ кости, принадлежа г плоскости. По л ому точка лежит в плос­ кости, если она находится на прямой, заведомо лежащей в плоскости.

Это свой с Iiso !ч чо непчдел при пот rpoeiiiiii щ п.с i ающи а.

проекций точек, л--,катит в плоское"!и.

На рис. 1 10 покатано построено фронтальной е' проекции точки 1л лежаний в плоское i ощь де, пн мой наjьчлло.Т1нымн прямыми А В н С IX если пл и к-иг : л,пая о проекция точки ла­.

данаЧерез точку Е по заданной плоскости проведена некоторая прямая I—II Горизонтальная проекция этой линии 1—2 про­ ходит через горизонтальную проекцию точки Е.

Далее построена фронтальная проекция прямой I —II, для чего были определены фронтальные Г и 2' проекции точек I и II.

Фронтальная проекция е' точки Е отмечена на фронталь­ ной проекции прямой I—II.

На рис. 117 построена горизонтальная проекция е точки Е, принадлежащей плоскости Р, по данной фронтальной проек­ ции этой точки е'.

Для решения задачи через проекцию е' проведена фрон­ тальная проекция некоторой прямой MN, лежащей в плоско­ сти Р [34]. Затем построена горизонтальная проекция этой прямой, линия шп [67]. Проекция е отмечена на линии шп и на одном перпендикуляре к оси проекций X с точкой е'.

§ 17. О проекциях плоских многоугольников 69 Построение проекций плоских многоугольников основано на построении проекций ряда точек и прямых.

На рис. 94, 100, 102 и др. уже приводилось построение про­ екций треугольника АВС, занимающего различные положения относительно плоскостей проекций.

При построении проекций многоугольника с числом вершин, большим чем три, бывает необходимо проследить, чтобы не нарушалось условие расположения всех вершин данной фигу­ ры в одной плоскости. Пусть требуется достроить горизонталь­ ную проекцию четырехугольника ABCD, если известна его фронтальная проекция и горизонтальные проекции двух смеж­ ных его сторон АВ и ВС. Рис. 118.

Если представить, что заданный четырехугольник уже до­ строен (рис. 119 и 120), то диагонали АС и BD, проведенные t а плоскости четырехугольника, пересекаются п точке М.

С по­ мощью этой точки и производят построение незаконченной проекции четырехугольника 'рис, 120):

1) строят фронтальные проекции диагоналей АС и BD и горизонтальную проекцию диагонали АС;

2) отмечают фронтальную проекцию точек М —т ' и, зная, что точка М принадлежит диагонали АС, строят ее горизон­ тальную проекцию m [34];

3) диагональ BD (рис 120) проходит через три точки В, М и D. Горизонтальные проекции двух точек В и М известны, что дает возможность построить горизонтальную проекцию диагонали BD.

Наличие на эпюре горизонтальной проекции точки D позво­ ляет достроить горизонтальную проекцию четырехугольника.

В том случае, когда стороны плоской фигуры параллельны одной из плоскостей проекций, па эту плоскость фигура проектируется в натуральную величину [63, 64, 65].

–  –  –

Среди прямых, которые можно провести п плоскости, осо­ бого внимания заслуживают так называемые главные линии плоскости.

а) горизонтали — прямые, лежащие в плоскости и пзрал* тельные плоскости проекций Н. Рис. 121.

–  –  –

Прямая А-1 является горизонталью плоскости треугольни­ ка АВС потому, что она лежит в плоскости треугольника [66] и параллельна плоскости проекций 11 [29].

На рис. 122 и 123 показана горизонталь плоскости Р, за ­ данной следами. Фронтальная проекция горизонтали парал­ лельна оси X.

Горизонтальная проекция горизонтали параллельна гори­ зонтальному слету плоскости;

71 б) фронта л и прямые, лежащие в плоскости и парал­ лельные плоскости проекций V (рис. !24).

Прямая Л-1 является фронталью плоскости треугольника АВС потому, что она лежит в плоскости треугольника [66J и параллельна плоскости проекции Y [30].

На рис. 125 и 126 показана фронталь плоскости Р, задаю ной следами.

Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X.

Фронтальная проекция фронтали параллельна фронталь­ ному следу плоскости;

72 в) профильные прямые прямые, тежащпе в плоскости и параллельные плоскости проекций W (рис. 127).

Прямая В-1 есть профильная прямая плоскости треуголь­ ника АВС потому, что она лежит в плоскости треугольника [66] и параллельна плоскости проекции W [31].

На рис. 128 и 129 показана профильная прямая плоскости Р, заданной следами.

Горизонтальная и фронтальная проекции профильной пря­ мой перпендикулярны к оси X, профильная проекция парал­ лельна профильному следу плоскости;

Рис 128, 129.

73 г) линии наибольшего наклона прямые, лежащие в пло­ скости, перпендикулярные к ее горизонталям, фронталям или профильным прямым.

Линия наибольшего наклона к плоскости 11. проведенная по плоское I и треугольника АВС через его вершину В. пока-ta­ na на рис. 130. Горизонтальная проекция линии наибольшего наклона В-П перпендикулярна горизонтальной проекции гори­ зонтали А-1 [50].

На рис. 131 и 132 показана линия наибольшего наклона к плоскости 11, проведенная по плоскости Р, заданной следами.

Угол r Между линией наибольшего наклона и ее проекцией i на плоскость 11 как линейный угол двугранного угла, образо­ ванного плоскостями Р и Н, определяет наклон плоскости Р к горизонтальной плоскости проекции.

На рис. 132 истинная величина угла наклона плоскости Р к Н определена построением прямоугольного треугольника [43]. '' § 19. Построение следов плоскости Положение следа плоскости, как всякой прямой линии, од ределяется:.

а) двумя точками, принадлежащими следу;

б) одной точкой, принадлежащей следу, и его направ­ лением.

Двумя точками, определяющими положение следа плоскос­ ти, обычно бывают одноименные с ним следы любых двух пря­ мых, лежащих в данной плоскости.

Так, на рис 133, 134 для построения следов плоскости Р, заданной точками А, В и С. по плоскости были проведень прямые линии АВ и ВС и построены их горизонтальные М I,\lt и фронтальные N и N. следы. Прямая линия, соединяю] щая точки М и Mi, определила горизонтальный след плоское ти, а прямая, проходящая через точки X и X ;, — ее фронталы ный след.

При наличии на эпюре одного следа плоскости, пересекаю­ щего в пределах чертежа ось проекций, второй может быть построен с помощью точки схода следов и одноименного с ним следа любой из прямых, лежащих в плоскости.

75 На рис. 135 приводится пример построения следов плоскос­ ти, определяемой пересекающимися прямыми АВ и АС Так как прямая Л В параллельна оси X [32]. плоскость Q и ее следы QH н Qv также параллельны оси X [6П]. Следовательно, для построения следов такой плоскости достаточно найти по од­ ной точке, принадлежащей каждому из ее следов [74].

Такими точками будут следы М и N прямой ВС [37, 38] Построение следов плоскости значительно упрощается, если она задана главными линиями. Гак, на рис. 136 для построе­ ния следов плоскости, определяемой фронтальной прямой АВ [31] и горизонтальной ВС [30], достаточно было найти, напри­ мер, одну точку М - горизонтальный след прямой АВ [37].

–  –  –

След плоскости Р„ проведен через точку М параллельно проекции ас [70], а фронтальный P v через точку Р„ парал­ лельно аЪ' [71].

§ 20, Тень отрезка прямой линии и плоской фигуры на плоскости проекций Построение тени отрезка прямой линии на плоскости про­ екции основано на построении тени от точки на эти плоскости [54]. На рис. 137 показано построение тени отрезка прямой АВ, когда он отбрасывает тень только на одну плоскость проек­ ций Н.

Линия А„ В„ есть тень прямой АВ на горизонтальную плоскость проекций. Она определена как прямая, соединяющая горизонтальные следы лучей света, проходящих через точ­ ки А и В.

Прямую А„ Вн можно вместе с тем рассматривать как след лучевой плоскости, которая определяется данной пря­ мой и одним из световых лучей ААН или ВВ „ [55].

77 В зависимости от положения отрезка прямой в простран­ стве и направления луча света отрезок может отбрасывать тень и на две плоскости проекций (рис. 138). Построение его тени в этом случае проводят в следующем плане. Строят тень отрезка прямой на одну из плоскостей проекций [76]. Если построенная тень пересекает ось проекций, то отмечают точ­ ку Кх, Ку или K z, в которой преломляется тень прямой, пере­ ходя с одной на другую плоскость проекций.

_

–  –  –

Устанавливают, какая: из двух теней от крайних точек от­ резка прямой на одной из плоскостей проекций будет види­ мой [54]. Определяют теш. от второй крайней точки отрезка прямой на другую плоскость проекций и соединяют ее q точ­ кой К,, К у или Kz На рис. 139 показано построение тени от­ резка прямой АВ на эпюре. Вначале была построена тень пря­ мой А н В„ на плоскость 11 [76]. Отмечена точка К* — точка перехода теин с плоскости И на плоскость V.

Определена видимая часть тени А „ Кх прямой на плоско­ сти Н [54]. Найдена тень B v другой крайней точки отрезка прямой на плоскости проекций, которая и соединена с точ­ кой К*. Линия А„ Кх В, является видимой тенью отрезка прямой А В на плоскостях проекций Н и V..

78 На рис. 140 построена тень от отрезка прямой АВ на три плоскости проекций.. Из чертежа видно, что тень от прямой на плоскость V пересекает в точке F z ось проекций Z- Точка F r есть точка перехода тени с плоскости V на плоскость W.

Определив темь точки В на плоскость W, как профильный след луча, проходящего через точку В 1 39], точку Bw соединяют с Fz. Линия А„ К х F z В,, есть видимая тень отрезка пря­ мой АВ на плоскостях проекций Н, У и W.

При другом расположении прямой в пространстве (рис.

141) тень прямой на плоскости II может в некоторой точке Е, пересекать ось проекций У. В этом случае точка Еу будет яв­ ляться точкой перехода тени прямой с плоскостью 11 на плос­ кость W.

Линия A v Кх Еу В„. есть видимая тень отрезка прямой АВ на плоскостях проекций II, V и W.

139 но..

Рис. РцС.

рис. 142 построена гель непрозрачного треугольника.лВС. на плоскость проекции II. Треугольник Д„ ВНС„ представ­ ляет собой тень от треугольника АВС на гпоскость II. Каждая сторона этого треугольника, \ н, Ви, В„, С„ и т. д, есть тень прямой линии соответствующей стороны треугольника. Сле­ довательно, для построения контура тени плоской фигуры на какой-нибудь плоскости проекций необходимо построить тени от всех ее сторон. Контур тени А „ Вн Сн можно также рас­ сматривать как сечение плоскостью Н лучевой призмы, ребра­ ми которой служат световые лучи АЛ „, ВВ„ и СС„, проходя­ щие через вершины заданного треугольника.

Построение тени от плоской фигуры на две и три плоскости проекции ведут в той же последовательности, как и построе­ ние тени от прямой линии [76].

На рис. 143 и 144 показано построение тени треугольника на две плоскости проекций.

Рис ИЗ, 141

Вначале была построена падающая тень от треугольника АВС на плоскость проекций Н. Затем определена видимая часть этой тени, расположенная па передней полуплоскости.

Далее строилась видимая часть тени на плоскость V. В дан­ ном примере потребовалось построить теш. одной точки В по­ тому, что тени от точек А и С, видимые на плоскости И, будут невидимы па плоскости V- Затем точка Bv Соединена с конца­ ми затененной части осп проекций, точками К х и гх. Фигу­ ра Ан КДВ, R, С„ А„ — является видимой теныо треуголь­ ника АВС на плоскостях проекций Н и V.

§ 2). Пересечение прямой линии с проектирующей плоскостью Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, при любом способе ее задания, проектируется на эту плоскость в виде прямой линии На этой же прямой располагается и одна из проекций точки пересечения прямой с плоскостью. Поэтому и решение задачи начинают с построения той проекции точки пересечения, которая лежит в плоскости проекций, перпенди­ кулярной проектирующей плоскости.

Так при пересечении прямой EF с горизонтально-проектирующей плоскостью, определяемой треугольником АВС (рис.

145) и следами Q,, и Q, (рис. 146), вначале были определены горизонтальные к проекции точек встречи прямой EF с задан­ ными плоскостями, которые отмечены в том месте, где пересе­ каются горизонтальные проекции прямой и плоскости. Проек­ ции к определены на фронтальной проекции прямой EF [34].

Рис. 145, 146.

81 Пересечение прямой линии EF с фронтально-проектирую­ щей плоскостью, заданной параллельными прямыми АВ и CD, приводится на рис. 147, следами Rv и R„ па рис. 148 [80].

Фронтальные проекции точек встречи прямой EF с задан­ ными плоскостями определены как точки пересечения е'Г с a'c'b'd' или с Rv горизонтальные проекции к. отмечены на горизонтальных проекциях прямой EF [34].

82 Па рис. 149 приводится пересечение прямой линии с про­ фильно проектирующей плоскостью [80].

В точке пересечения е"{" с S w определена профильная проекция точки пересечения прямой EF с плоскостью S. Гори­ зонтальная к и фронтальная к' проекции точки К отмечены на одноименных проекциях прямой EF [34].

83 При пересечении прямой линии с дважды проектирующей плоскостью, при любом способе задания плоскости, задача ре­ шается по тому же плану. Вначале определяют проекцию точ­ ки пересечения на плоскости проекций, перпендикулярной к заданной плоскости, затем находят другие проекции точки на одноименных проекциях прямой На рис 150 и 151 приводятся примеры пересечения прямой линии с горизонтальной и фрон­ тальной плоскостями.

Рис. 150, 151.

В первом случае фронтальный след плоскости Т является ее фронтальной проекцией и проекция к определена в пересе­ чении е' V и следа T v.

Во втором случае вначале определена проекция к в пересе­ чении ef и проекции abc.

Для придания эпюрам большей наглядности отрезки про* екций прямой линии, пересекающей плоскость, изображаются различными линиями; одни из них сплошными, другие штри­ ховыми. При этом условно считают, что плоскость непрозрач­ на и участки прямой линии, даже расположенные в первом октанте, по находящиеся для зрителя за плоскостью, счита­ ются невидимыми и изображаются штриховыми. Определение на эпюре видимости прямой линии и плоскости сводится к оп­ ределению относительной видимости конкурирующих точек на скрещивающихся прямых [49].

Если, например, через точку F (рис. 146) провести про­ ектирующую прямую, перпендикулярную плоскости V, то она пересечет плоскость Q в точке 1.

Так как горизонтальная проекция точки 1 отстоит дальше от оси X, чем проекция I', точка F невидима относительно плоскости V. Поэтому отрезок фронтальной проекции прямой ПК показан на эпюре штриховой линией.

Точка К пересечения прямой с плоскостью делит прямую линию на видимую и невидимую части.

На рис. 145 прямая EF пересекает плоскость, ограниченную треугольником АВС. В этом случае при определении видимо­ сти прямой п плоскости исследуют видимость отрезков прямой и соответствующих сторон треугольника, как скрещивающихся прямых [49, 50].

Участок К ' 2' фронтальной проекции прямой невидим по­ тому, что точка II находится ближе к плоскости V чем точка I, § 22 Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть параллельными пли пересекающимися.

Параллельные плоскости Известно, что плоскости параллельны, если две пересекаю­ щиеся прямые линии одной плоскости соответственно парал­ лельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

На рис. 152 показаны две параллельные плоскости, задан­ ные треугольниками АВС и KLM.

Эти плоскости параллельны потому, что пересекающиеся прямые АВ и АС одной плоскости соответственно параллель­ ны прямым K.L п КМ другой плоскости [48].

Если параллельные плоскости задаются следами, то одно­ именные следы этих плоскостей параллельны, так как парал­ лельные плоскости пересекаются любой третьей плоскостью по параллельным прямым. Рис. 153, 154.

Рис. 152.

Однако утверждение о параллельности плоскостей на осно­ вании параллельности их следов справедливо в том случае, если: два пересекающихся между собой следа одной плоскости соответственно параллельны одноименным следам другой плоскости. _ В подтверждение сказанному обратимся к рис 155 и 156.

Несмотря на то что горизонтальные и фронтальные следы этих плоскостей между собой параллельны, в первом случае (рис. 155) плоскости Р и Q пересекаются, что видно из взаим­ ного расположения профильных следов этих плоскостей.

При решении задач часто приходится строить плоскости, параллельные данной и проходящие через определенную точку.

Пример 1. Через точку К провести плоскость, параллель­ ную плоскости данного треугольника АВС.

Рис. 157.

С.

–  –  –

Для решения задачи через точку К проведены две прямые KL и КМ, соответственно параллельные сторонам АВ и АС заданного треугольника 118]. Прямые KL и КМ определяют плоскость, параллельную плоскости треугольника АВС [85].

Пример 2. Построить следы плоскости Q, проходящей через точку К парилтельно данной плоскости Р.

Рис. 158 и 159.

Риг 158, 154

Если через точку К по будущей плоскости Q провести го­ ризонталь или фронталь (рис. 159), то их соответствующие проекции будут параллельны одноименным следам плоскости Q [70, 71], а значит, и следам плоскости Р[86]. Через точку К (рис. 158) проведена горизонталь плоскости Q [70] и найден ее фронтальный след, точка N [38]. Далее через точку N прове­ ден Qv параллельно Р, [86] до пересечения его в точке Q, с осью проекций X. Горизонтальный след Q„ проведен через точку Qx параллельно Р „.

Пр имер 3 Через точку К провести плоскость Q, определяе­ мую следами, параллельную плоскости треугольника АВС (рис. 160). Для решения задачи по плоскости треугольника АВС через его вершину А проведена горизонталь А-1 и фронталь А-11 [70, 71], Далее через точку К параллельно линии А-П проведена фронталь будущей плоскости Q [71]. Построен гори­ зонтальный след М этой фронтали [37] и через него проведен горизонтальный след Q„ искомой плоскости Q параллельно горизонтальной проекции горизонтали А-1 [85]. Фронтальный след Qv проведен через точку Qx параллельно а' 2'.

Пересекающиеся плоскости Известно, что линия пересечения двух плоскостей есть прямая. Для ее построения необходимо знать две точки, общие этим плоскостям, или одну точку и направление линии пере­ сечения.

Общий прием определения точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей, основан на том. что заданные плос­ кости Р и Q (рис. 161) пересекают вспомогательными плоскос­ тями Т] и Т2 и, построив линии пересечения заданных плос­ костей с каждой из вспомогательных, находят точки I и II, об­ щие плоскостям Р и Q [68].

Соединяя эти точки прямой, получают линию пересечения заданных плоскостей. В целях упрощения построений, выпол­ няемых на эпюре, вспомогательные плоскости Tj и Та целесо­ образно выбирать дважды проектирующими.

Рис. 161.

89 На рис. 162 н 163 показано построение линии пересечения плоскости общего положения Р, заданно]! следами, с горизон­ тальной плоскостью Т.

–  –  –

Так как линия пересечения плоскостей Р и Т одновременно принадлежит заданным плоскостям, она является горизон­ талью плоскости Р и направление ее известно [70]. Следова­ тельно, для решения задачи достаточно опретелить одну лишь точку, принадлежащую линии пересечения [88]. В данном ему чае это будет точка X фронтальный след линии пересечения плоскостей, которая находится в точке пересечения фронталь­ ных следов заданных плоскостей.

На рис. 164 и 165 показано построение линии пересечения плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, с горизонтальной плоскостью Т. заданной следами.

Линия пересечения заданных плоскостей является горизон­ талью плоскости треугольника и проходит через точки I и II [70]. Точки I и II представляют собой точки пересечения сто­ рон треугольника с плоскостью Т [83]. Фронтальная проекция Г 2' этой линии сливается с фронтальным следом плоскости Т [63], горизонтальная — определяется горизонтальными проек­ циями точек I и II [34]. '

–  –  –

90 Построение линии пересечения плоскости общего положе­ ния с плоскостью, параллельной плоскости V, приведено па рис. 166.

Линия пересечения плоскостей Р и U является фронталыо плоскости Р [71], ее горизонтальная проекция сливается с IJH, фронтальная параллельна Р, [64].

–  –  –

Для построения линии пересечения достаточно найти одну точку М — ее горизонтальный след, который располагается в пересечении горизонтальных следов заданных плоскостей.

На рис. 167 построена линия I— II пересечения плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, с фронталь­ ной плоскостью U, заданной следами.

По аналогии с предыдущим примером линия I II являет­ ся фронталью плоскости треугольника АВС [71]. Ее горизон­ тальная проекция сливается с горизонтальным следом плоси CD, а другия треугольником KLM, показано на рис. 168.

91 Построение линии пересечения плоскостей общего поло­ жения, одна из которых задана параллельными прямыми АВ и CD, а другая треугольником КЕМ, показано на рис. 168.

Рис. 168.

Для решения задачи заданные плоскости пересечены плос­ костями 'Г, и Т2. параллельными плоскости II [63]. Каждая из этих плоскостей пересекает заданные плоскости по горизон­ тали [89]. В пересечении горизонтален, лежащих в плоскостях Ti и Т2, получены соответственно точки 1 и II. а прямая, про­ ходящая через них, определяет линию пересечения заданных плоскостей [70. 88].

92 Если пересекающиеся плоское™ заданы следами, построе­ ние их линии пересечения упрощается, так как точки М и N пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 169 и 170) являются точками, общими для заданных плоскостей, а пото­ му принадлежат линии их пересечения.

Отметив на эпюре проекции точек п, n', m и т ' и проведя через их проекции прямые линии, получают проекции линии пересечения плоскостей.

На рис. 171 приводится пример, когда горизонтальный след линии пересечения плоскостей оказался на задней полуплос­ кости Н.

В данном случае построения аналогичны гем, которые вы­ полнены на рис 170.

В тех случаях, когда одноименные следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа и найти следы линии пересе­ чения плоскостей не представляется возможным, прибегают к пересечению заданных плоскостей третьей плоскостью [88].

Рис. 171 Рис. 172.

Так, на рис. 172 фронтальные следы плоскостей не пересе­ каются в пределах чертежа.

Одна точка М — горизонтальный след линии пересечения плоскостей — найдена как точка пересечения Р„ и Q„ [92].

Для определения второй точки проведена плоскость Т, парал­ лельная II [89].

Построены линии пересечения плоскостей Р и Q с плоско­ стью Т и в точке их пересечения отмечена точка 1, общая для плоскостей Р и Q [68]. Проекции линии пересечения плос­ костей проведены через одноименные проекции точек М и 1.

Если горизонтальные следы плоскостей тоже не пересекаются в пределах чертежа, то проводят вторую плоскость, парал­ лельную Н или V, и определяют еще о д н у точку, принадлежа­ щую линии пересечения плоскостей.

Примеры построения линии пересечения плоскости общего положения, заданной следами, с проектирующей плоскостью приведены на рис. 173- 175.

Q

Рис. 173, 174, 175.

Пересечение одноименных следов плоскостей позволило от­ метить проекции следов линии пересечения плоскостей — точ­ ки гп, т ', п, п' и т. д. Через одноименные проекции точек М и N и проведены проекции линии пересечения плоскостей [92].

Далее приведены примеры построения линии пересечения плоскости общего положения, заданной пересекающимися пря­ мыми АВ и ВС с горизонтально проектирующей плоскостью Q (рис. 176), и плоскостью, определяемой параллельными пря­ мыми АВ и CD с фронтально-проектирующей плоскостью R (рис. 177).

Рис. 176, 177.

Линии пересечения плоскостей определены как прямые, Проходящие через точки I и I I — точки встречи прямых с плоскостями Q и R [80]..

05 Из стереометрии известно, что две непараллельные между собой плоскости, проходящие через две данные параллельные прямые, пересекаются по прямой, параллельной данным пря­ мым. Поэтому, если любые два одноименных следа пересека­ ющихся плоскостей взаимно параллельны, то линия пересечения плоскостей параллельна этим следам и проходит через точку пересечения двух других (одноименных) следов задан­ ных плоскостей.

На рис. 178 приведено построение линии пересечения двух плоскостей общего положения, горизонтальные следы которых параллельны. Линия пересечения плоскостей проведена через точку N [92], общую плоскостям Р и Q, параллельно следам P,i и Q„.

–  –  –

Построив линию MN пересечения данной плоскости Р и вспомогательной Q, определяют взаимное положение прямой АВ и плоскости Р.

Если окажется, что:

а) АВ сливается с прямой М \\ то прямая АВ лежит в плоскости Р [66];

б) АВ параллельна прямой MN, то прямая АВ параллель­ на плоскости Р;

в) АВ пересекают прямую MN, то прямая АВ пересекает плоскость Р.

Два последних случая требуют более подробного рассмот­ рения, что и выполнено в § 24 и 25.

§ 24 Прямая линия, параллельная плоскости Прямая линия параллельна плоскости, если она парал­ лельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

На основе методики, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим взаимное положение прямой линии АВ и плос­ кости.

На рис. 180 плоскость задана треугольником CDE, на рис. 181 —параллельными прямыми CD и ЕЕ и на рис. 182 следами Р „ и Р,. Для решения задачи через прямую АВ про­ ведена горизонтально проектирующая плоскость Q [59]. По­ строены проекции 1,Е и 2,2' линии пересечения плоскостей [94].

Риг, 1W, 1-81 182.

Оценив на каждом чертеже взаимное положение прямых АВ и 1, II, заключают: прямая АВ лежит в плоскости тре­ угольника C.DE (рис. 180), прямая АВ параллельна плоскости, заданной прямыми CD и EF (рис. 181), прямая АВ не лежит в плоскости Р и не параллельна ей (рис. 182) [96].

При решении задач может возникать необходимость в по­ строении плоскости, параллельной одной или двум данным прямым. Рассмотрим некоторые из этих примеров.

Пример 1. Построить плоскость параллельную прямой CD и проходящую череп данную прямую АВ (рис.

183).

Известно, что положение плоскости может определяться двумя пересекающимися прямыми. Поэтому, например, через точку В, проведена прямая BF. параллельная прямой CD [48].

Прямые АВ и BF определили плоскость, параллельную пря­ мой CD и проходящую через данную прямую АВ [97].

Рис, 184 Рис. 183.

99 Пример 2. Через точку А провести плоскость, параллельную данной прямой CD. Рис. 184.

Через точку проведены две прямые: АВ, параллельная данной прямой CD [48], и AF в произвольном направлении.

Прямые АВ и A F определили плоскость, параллельную пря­ мой CD [97] н проходящую через данную точку А.

Н ) При мер 3. Через точку Е провести плоскость, параллельную И данным скрещивающимся прямым АВ и CD. Рис. 185.

Через точку Е проведены прямые EF и ЕЕ соответственно параллельные скрещивающимся прямым АВ и CD [48]. Эти прямые определили плоскость, параллельную заданным пря­ мым АВ и СП [55, 97].

Ю1 Для построения точки пересечения прямой линии с плос­ костью (рис.

179) необходимо:

а) через данную прямую АВ провести вспомогательную плоскость Q;

б) построить линию MN пересечения данной плоскости Р с вспомогательной плоскостью Q;

в) определить искомую точку К на пересечении данной прямой АВ и линии MN.

Построения, выполняемые в пространстве при определении точки пересечения прямой линии с плоскостью, заданной тре­ угольником, приведены на рис. 186. с плоскостью, заданной следами, на рис. 187.

Рис. 186, 187.

На рис, 188 и 189 дано решение тех же примеров на эпюре.

Для упрощения графических построений в каждом из при­ меров через прямую АВ..была проведена горпзонтально-про ектирующая плоскость Q [59]. Построены липни 1 1 и М.\— пересечения вспомогательной плоскости Q соответственно с треугольником CDE и плоскостью Р [94]. Отмечена точка К-встречей прямой АВ с заданной плоскостью, как точка пере­ сечения прямой АВ с линией I— II пли MN [47].

102 На рис. 190 показано определение точки пересечения пря­ мой АВ с плоскостью, заданной параллельными прямыми CD и EF.

В данном случае в качестве вспомогательной плоскости че­ рез прямую АВ проведена фронтально-проектируюшая плос­ кость R [60, 101].

Рис 188, 189 ЮЗ Различные расположения плоскости в пространстве не ме­ няют общей схемы решения задач.

Так, на рис. 191 показано определение точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р, заданной сливающимися следами.

Через прямую АВ проведена фронтально проектирующая плоскость Р [60]. Построена линия MN пересечения плоскости Р и R [92]. В месте пересечения прямой АВ и линии MN отме­ чена точка К — пересечения данной прямой АВ с плоскостью Р [47].

Рис 190. Рис. 191.

104 В тех случаях, когда прямая линия, пересекающая плос­ кость, занимает положение, параллельное какой-нибудь плос­ кости проекций, целесообразно через эту прямую проводить плоскость, параллельную той плоскости проекций, которой параллельна данная прямая Это значительно упрощает реше­ ние задачи.

Так, на рис. 192 через прямую АВ проведена плоскость Т, параллельная плоскости проекций Н [63].

Все остальные построения аналогичны предыдущим при­ мерам [1 0 1 ]..

Рис. 192 Рис. 193.

105 На рис. 193 показана прямая АВ, пересекающая плоскость Р и перпендикулярная к плоскости проекций Н.

В этом примере точка пересечения прямой АВ с плоско­ стью Р может быть определена по общей схеме [101]. Однако частное расположение прямой АВ относительно плоскостей проекций позволяет упростить решение задачи. Действитель­ но, если прямая АВ перпендикулярна к Н или V, то одна про­ екция точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р известна, так как она будет сливаться с точкой, в которую проектирует­ ся прямая [32]. Зная, что сама точка К принадлежит плоско­ сти Р, можно определить ее другую проекцию [68].

Проекция К определена с помощью фронтали плоскости Р [71].

106 Решения задач на пересечение прямой линии с плоскостью обычно завершаются определением видимости отдельных уча­ стков прямой относительно данной плоскости. Поскольку эта задача основана на видимости точки и плоскости, рассмотрим вначале как определяется видимость точки относительно дан­ ной плоскости.

Пусть требуется определить видимость точки А относи­ тельно плоскости Р при проектировании этой точки на плос­ кость проекций Н (рис. 194).

Если провести через точку А проектирующую прямую S, перпендикулярную плоскости проекций Н, то она пересечет данную плоскость Р в точке К [105].

В идимость точки А относительно плоскости Р на плоскоети Н будет зависехьщм-Фотог-какая-из.Л13УХ точек дальше удалёна от плоскости проекций Н. Так как фронтальная проекция Рис. 194. Рис. 195 точки А отстоит дальше от оси X, чем К, то точка А дальше удалена от плоскости И, чем точка К. и будет видимой на плос­ кости И.

На рис. 195 определена видимость точки В относительно плоскости Р при проектировании этой точки на плоскости про­ екций Н и V. Вначале через точку В была проведена прямая, перпендикулярная к плоскости проекций Н. Она пересекла плоскость Р в точке К [105], Расположение на эпюре фрон­ тальных проекций точек В и К указывает на то, что точка Б на плоскости Н невидима [84]. Далее через точку В была про­ ведена прямая,перпендикулярная к плоскости V, и определена точка F — пересечения этой прямой с заданной плоскостью.

Так как горизонтальная проекция точки В оказалась дальше отстоящей от оси X, чем f, то точка В видима на плоскости V Аналогично решается видимость точки и плоскости при других способах задания плоскости. На рис. 196 заданы точ­ ка Е и плоскость, определяемая треугольником АВС.

Требуется определить видимость точки относительно плос­ кости треугольника на плоскости Н.

— ---Как и в предыдущем примере, через точку Е проведена прямая линия, перпендикулярная к плоскости И. Отмечена точка К — пересечения этой прямой с плоскостью треуголь­ ника. Так как е' оказалась ближе расположенной к оси X, чем к', точка Е невидима на плоскости Н.

107 Далее рассматривается видимость прямой линии относи­ тельно плоскости. Пусть на рис. 197 заданы: плоскость Р и прямая линия АВ, пересекающая плоскость в точке К.

Для определения видимости участков прямой линии иссле­ дуют, как это выполнялось на рис. 195. видимость точки А или В относительно плоскости Р. В данном примере была опреде­ лена видимость точки Д относительно плоскости Р на плосРие. 190. Рис. 197.

костях проекций Н и V [106] Участки проекций прямой, соот­ ветствующие ее невидимой части, изображены штриховыми линиями Определение видимости прямой EF, пересекающей плос­ кость. заданную треугольником АВС, показано на рис. 198.

Вначале с помощью плоскости Q была найдена точка К пересечения прямой ЕЕ с плоскостью треугольника АВС [ 101].

Затем, ограничивая заданную плоскость контуром треу­ гольника, определили отрезки прямой, закрытые плоскостью Эго решение основано на том, что прямая EF и стороны треу­ гольника представляют собой скрещивающиеся прямые [491 Из расположения фронтальных проекций точек I и II сле­ дует, что отрезок прямой I -К находится под треугольником [84], поэтому его горизонтальная проекция изображена штри­ ховой линией.

Для определения видимости участков прямой относитель­ но треугольника на плоскости V использованы точки III и IV, принадлежащие соответственно скрещивающимся прямым EF и ВС. По расположению горизонтальных проекций этих точек определено, что отрезок прямой 111-К является видимым.

Его фронтальная проекция 3' К' показана сплошной лини­ ей, а отрезок от точки К' до фронтальной проекции стороны АС — штриховой.

§ 26. Прямая линия, перпендикулярная к плоскости 108 Если через основание перпендикуляра к плоскости провес­ ти в ней любую прямую, то она образует с перпендикуляром прямой угол. В тех случаях, когда через основание перепендикуляра проведена горизонталь, фронталь или профильная прямая плоскости (рис. 199), то прямой угол, образованный перпендикуляром и любой из перечисленных прямых, проекти­ руется на плоскость проекций, параллельную данной прямой в натуральную величину [50].

Таким образом, проекции перпендикуляра к плоскости пер­ пендикулярны соответствующим проекциям главных линий или одноименным следам плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали или к горизонтальному следу плоскости, фрон­ тальная проекция — перпендикулярна к фронтальной проек­ ции фронтали или к фронтальному следу, а профильная — пер­ пендикулярна к профильной проекции, профильной прямой или к профильному следу.

На рис. 200 показана прямая KL, перпендикулярная к плос­ кости треугольника АВС.

Проекции kl и к Т соответственно перпендикулярны C и 9 a Y [108].

На рис. 201 приведена прямая KL, перпендикулярная к плоскости Р, заданной следами.

Проекции ki и к Т соответственно перпендикулярны к Р„ и Pv.

109 Так как решение многих задач сводится к построению пер­ пендикуляра к плоскости, ниже рассматривается решение наи­ более характерных из них.

о

–  –  –

Рис. 201 Рис. 200, Пример 1. Определить расстояние от точки L до плоскости треугольника АВС (рис. 202).

Решение поставленной задачи делится на три этапа:

а) из точки L опускается перпендикуляр на плоскость треугольника [108];

б) определяется точка К -- пересечения перпендикуляра с плоскостью [101];

в) выполняются построения по определению длины при­ мой KL [43].

Для выполнения первого этапа по плоскости треугольника проведена горизонталь С-1 [70] и фронталь А-П [71], а через проекции точки L проведены проекции перпендикуляра к плос­ кости треугольника. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника определена с помощью фронтально проектирующей плоскости R [101].

Истинная величина отрезка К1 построена способом прямоуготьного треугольника [43] Если плоскость, до которой определяется расстояние, про­ ектирующая, решение задачи значительно упрощается.

Так, на рис. 203 перпендикуляр, опущенный из точки L на треугольник \ВС. является горизонтальной прямой [29].

В пересечении горизонтальных проекций треугольника и перпендикуляра полечена горизонтальная проекция точки К [ 80].

Фронтальная проекция точки 1\ отмечена на фронтальной проекции перпендикуляра [3-1] 110 Пример 2. Через точке' Л провести плоскость, перпендику­ лярную к пня мой F.F (рис. 2 0 П.

Искомая плоскость определяется двумя пересекающимися в точке Л прямыми; горизонтальной Л-1 и фронтальной А-П.

Соотаетству ютние проекции прямых А-1 и А-П перпендикуляр­ ны к одноименным проекциям прямой ЕР [108].

Рис 205 Риг 301

Иногда, в аналогичных примерах, через точку требуется провести плоскость, определяемую следами. В этих случаях а.'статочпо пере - ; iданную точку пронести одну из главных ;

тинин этой плоскости. Так, на рис. 205 через точку А п р о в е д е ­ на горизонталь искомой плоскости Р [70].

Затем построена точка X фронтальный след горизонта­ ли [38] и перст пего перпентикулярнп к проекции е Т проведен след Р, [ЮЗ].

Горизонтальный след плоскости Рн прошел через точ­ ку Р, перпендикулярно к горизонтальной проекции пря­ мой EF.

Ill Пример 3. Определить расстояние от точки А до прямой FF Рис. 2 0 6 Рис. 206.

Так как прямая EF является прямой общего положения, то угол, образованный перпендикуляром, опущенным из точки Л на прямую, проектируется на плоскости проекций с искаже­ нием.

Поэтому решение задачи выполнено по следующему плану:

а) через точку А проведена плоскость, перпендикулярная прямой EF, определяемая отрезками АВ и АС [110];

б) найдена точка К — пересечения прямой FF с плоско­ стью, определяемой прямыми АВ и АС [10!];

в) точка А соединена с точкой К прямой линией. Отре­.

зок АК перпендикулярен к прямой FF [108] и определяет рас­ стояние от точки А до этой прямой;

г) истинная величина отрезка АК определена построени­ ем прямоугольного треугольника [44].

§ 27. Тень от точки и прямой на плоскость 112 При построении тени от точки L на данную плоскость Р определяют точку Lp пересечения луча света, проходящего через точку L с данной плоскостью ( р и с. 207).

Таким образом, построение тени от точки на плоскость сво­ дится к определению точки пересечения прямой с плоскостью [101]. На рис. 208 построена тень от точки L на плоскость Р, заданную треугольником АВС.

Рис. 208. Рис. 209.

Для решения задачи луч света, проходящий через точку L, заключен в горизонтально проектирующую плоскость Q [59].

Построена линия пересечения плоскости Q и треугольника АВС [94] и отмечены проекции тени от точки L на заданную плоскость — точки 1Р и 1Р' [1 0 1 ].

ИЗ Построение тени от прямой линии на плоскости требует оп­ ределения теней от крайних точек прямой на данную пло­ скость. Прямая, соединяющая эти точки, определяет тень от прямой на плоскости и является линией пересечения плоско­ сти, определяемой данной прямой и лучом света с заданной плоскостью.

На рис. 209 построена тень от прямой АВ на плоскость Р заданную следами, причем точка В лежит в плоскости.

Так как точка В лежит в плоскости Р, тень от точки В сливается с самой точкой. Поэтому на плоскости Р необходи­ мо найти тень лишь от одной точки А. Она определена как точ­ ка пересечения луча, проходящего через точку А, с плоскостью Р [101].

Одноименные проекции теней от точек А и В на плоскости Р, точки а рЬр и Яр'Ьр' определяют проекции тени от пря­ мой АВ на плоскости Р.

На рис. 209 построена тень от прямой АВ на плоскость Р, определяемую треугольником KLM Рис. 210.

При решении задачи построены тени от точек А и В, задан­ ной прямой, на плоскость Р, без учета ограничения плоскости контуром треугольника [101]. Так как точка В р оказалась за пределами треугольника, тень точки В не попадает на треу­ гольник и необходима только для определения направления тени прямой. Падающая тень от прямой АВ на треугольник KLM определяется отрезком прямой, ограниченным точками Ар и Dp. Точка D является теныо некоторой точки D, пря­ мой АВ, на сторону треугольника LM.

14 При построении тени, падающей от одного предмета на другой, может быть использован метод обратных лучей.

В этом случае строят тени заданных геометрических образов на одну из плоскостей проекции и определяют точки пересече­ ния их теней. Через эти точки проводят лучи, направленные противоположно световым лучам. Каждый из таких лучей, пе­ ресекая заданные геометрические образы, определяет нужные для построения теней точки.

Пусть на плоскости проекций Н построена падающая тень от'плоскости Р, заданной треугольником KLM и прямой АВ, пересекающей треугольник в точке В (рис. 211).

Из рисунка видно, что тени от прямой —А„ В, и от сто­ роны треугольника — Мн L„ пересекаются в точке С „. Обрат­ ный луч, проведенный через точку С„, пересекает в точке С, сторону треугольника ML и в точке (3 прямую АВ Точка С р является тенью некоторой точки С прямой АВ, на сторону треугольника ML. Соединяя точку В, лежащую в плоскости треугольника, с точкой Ср, получают тень от отрез­ ка прямой АВ на треугольнике KLM. Решение этой задачи на эпюре приведено на рис 2 1 2.

§ 28. Взаимно перпендикулярные плоскости 115 Две плоскости взаимно перпендикулярны, если:

а) одна из них проходит через перпендикуляр к друюй;

б) одна из них перпендикулярна к прямой линии, парал­ лельной плоскости или лежащей в ней.

На рис. 213 плоскость треугольника KLM перпендикулярна к плоскости, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВС.

Плоскости взаимно перпендикулярны потому, что прямая ВС перпендикулярна к плоскости треугольника KLM [108].

На рис. 214 показана фронталыю-проектирующая плос­ кость, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС

Рис 214

Плоскости перпендикулярны потому, что прямая А-1длежащая в плоскости треугольника АВС, перпендикулярна к плоскости R [108]. На рис. 215 изображены взаимно перпенди­ кулярные плоскости общего положения: одна из них задана следами, другая проекциями треугольника.

Плоскости взаимно перпендикулярны, так как прямая 1-В перпендикулярна к плоскости Р [108].

116 Далее приводятся решения задач на построение взаимно перпендикулярных плоскостей Пр имер I. Через точку А провести плоскость Р, перпендику­ лярную к данной плоскости Q.

На рис. 216 искомая плоскость определена параллельными прямыми АВ и CD, на рис. 217 следами Pv и Рн.

На рис. 216 через точку А проведена прямая АВ, перпенди­ кулярная к плоскости Q [108]. Прямая CD проведена парал­ лельно прямой АВ [48]. Плоскость, определяемая прямыми АВ и CD, проходит через точку А [6 8 ] и перпендикулярна к плосРис. 218 кости Q [115]. На рис. 217 эта задача решена следующим об­ разом. Через точку А проведена прямая, перпендикулярная к плоскости Q [108]. _ Построены следы М и N этой прямой [37, 38]. Следы иско­ мой плоскости Р проведены через одноименные следы пря­ мой [67].

Плоскость Р проходит через точку А [6 8 ] и перпендикуляр­ на к плоскости Q [115].

Так как через точку можно провести неограниченное коли­ чество плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости, за ­ дачи рассмотренные на рис. 216 и 217, если нет дополнитель­ ных условий, имеют бесчисленное множество решений.

117 Пример 2. Через прямую АВ провести плоскость, перпенди­ кулярную к плоскости Q (рис. 218). _ Искомая плоскость определена пересекающимися прямы­ ми АВ и АС, одна из которых, прямая АС, перпендикулярна к плоскости Q [108].

§ 29. Проекции угла между прямой линией и плоскостью 118 Угол между прямой линией и плоскостью измеряется уг­ лом, который образует прямую АВ со своей проекцией аВ, на данную плоскость Р (рис. 219).

Из рисунка видно, что наклон прямой АВ к плоскости Р определяется углом а. Угол а является одним из острых углов прямоугольного треугольника при вершине В. Вершина треу­ гольника В получена как точка пересечения прямой АВ с плоскостью Р, а вершина а — как точка пересечения перпенди­ куляра с плоскостью Р, опущенного из точки А на плоскость Р.

На рис. 220 построены проекции угла наклона прямой АВ к плоскости треугольника KLM.

Для решения задачи была определена точка Е пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника [101]. Далее из точки А на эту плоскость опущен перпендикуляр [108] и найдена точка пересечения его с плоскостью треугольника. Прямая, соединяющая точки Е и F, является проекцией отрезка АЕ на плоскость треугольника, а угол между прямой АЕ и EF опре­ деляет наклон прямой АВ к плоскости треугольника, а'е'Г — фронтальная проекция угла наклона прямой к плоскости тре­ угольника КЕМ, a aef — горизонтальная проекция этого угла.

Г л а в а IV

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭПЮРА

§ 30. Предпосылки к преобразованию эпюра 119 Степень сложности метрических задач во многом зависит от расположения заданных геометрических образов относи­ тельно плоскостей проекций. В этом нетрудно убедиться, ес­ ли проанализировать задачи на определение расстояния от точки до прямой, приведенные на рис. 82, 83 и 221.

В задаче (рис. 82) достаточно построить проекции прямой АК, перпендикулярной ВС [52]. Горизонтальная проекция ак определяет истинную величину расстояния от точки А до за­ данной прямой [33].

В задаче (рис. 83) после определения проекций кратчайше­ го расстояния от точки А до прямой F.F [52] потребовалось вы полнить дополнительные построения для определения истин­ ной длины отрезка АК [43].

Решение аналогичной задачи, когда прямая EF является прямой общего положения, требует еще большего количества дополнительных построений. Так, на рис.

221 для решения за ­ дач:::

Рис. 222.

Риг. 221

а) через точку А проведена плоскость Р, перпендикуляр­ ная прямой EF [110];

б) определена точка К пересечения прямой EF с плоско­ стью Р [101];

в) через одноименные проекции точек А и К проведены проекции кратчайшего расстояния от точки А до прямой EF;

г) определена истинная величина отрезка АК [43].

Сравнение выполненных построений убеждает в значитель­ ной простоте решения задачи, приведенной на рис. 82, где пря­ мая ВС перпендикулярна плоскости проекций FI.

В тех случаях, когда расположение геометрического обра­ за относительно плоскостей проекций не дает ответа о разме­ рах оригинала или усложняет решение задачи, прибегают к преобразованию эпюра. Способы преобразования эпюра мо­ гут быть различны и основаны на изменении взаимного рас­ положения заданных геометрических образов и плоскостей проекций.

На изменении положения плоскостей проекций в простран­ стве при неизменном положении заданных геометрических об­ разов основан так называемый способ перемены плоскостей проекций.

На изменении положения геометрических образов при не­ изменном положении плоскостей проекций основан способ вра­ щения и его частный случай — способ совмещения.

–  –  –

122 Решения некоторых задач требуют двойной замены плос­ костей проекций. Такое преобразование эпюра по существу объединяет построения, выполненные на рис. 223 и 224. Пере­ ход от одной системы плоскостей проекций к другой произво­ дят с соблюдением следующего правила.

Рис. 223.

Расстояние от «новой» проекции точки до «новой» осф должно равняться расстоянию от преобразуемой «старой» про­ екции точки до «старой» оси. Разноименные проекции точек в любой системе всегда размещаются на одном перпендику­ ляре к оси соответствующей системы.

Пример двойной замены плоскостей проекций выполнен на рис. 225. Вначале плоскость V была заменена на плоскость V!

[120]. Затем была произведена замена плоскости Н системы на плоскость II- [1 2 1 ].

—1 Н J '

–  –  –

§ 32. Преобразования эпюра при решении основных задач способом перемены плоскостей проекций 123 Преобразования эпюра, выполняемые при решении задач способом перемены плоскостей проекций, можно свести к од­ ному из четырех.

а) Преобразовать эпюр так, чтобы прямая общего поло­ жения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

На рис. 226 показана прямая АВ общего положения. Для решения задачи образована новая система плоскостей проек­ ций [1 2 0 ].

Плоскость Vi проведена параллельно АВ, поэтому отрезок прямой и угол наклона его к плоскости II спроектировались на плоскость V] в натуральную величину [33].

Решение этой задачи на эпюре приведено на рис. 227. Но­ вая ось Xi проведена параллельно ab. Для построения новой фронтальной проекции прямой были построены проекции точек А и В на плоскости Vi [120]. • 124 На рис. 228 и 229 приведено решение аналогичной задачи путем замены плоскости проекции Н.

Плоскость Hi расположена параллельно прямой АВ и перпендикулярно плоскости V, поэтому отрезок АВ и угол |i спроектировались на Hi без искажения [33].

–  –  –

В том случае, если преобразуемая проекция прямой пере­ секает ось проекций, то и новая проекция прямой будет пере­ секать ось новой системы плоскостей проекций. Рис. 230.

–  –  –

Рис. 230.

Объясняется это тем, что координаты крайних точек пря­ мой, в данном случае координаты Z, имеют разные знаки.

125 б) Преобразовать эпюр так, чтобы данная прямая оказа­ лась перпендикулярной одной из плоскостей проекций новой системы.

/ Вначале приводится решение задачи, когда прямая парал­ лельна какой-нибудь плоскости проекций. Так, на рис. 231 да­ на прямая АВ, параллельная плоскости Н, а на рис. 232 — па­ раллельная плоскости V.

Для решения поставленной задачи (рис. 231) путем за ­ мены плоскости проекций V на V, создана новая система плоскостей проекций — [120], в которой прямая АВ стала Н фронтально-проектирующей [32]. На рис. 232 образована си»

–  –  –

127 в) Преобразовать эпюр так, чтобы плоскость общего по­ ложения в новой системе плоскостей проекций стала проекти­ рующей.

На рис. 234 и 235 плоскость общего положения в системе V — задана треугольником АВС. Для того чтобы плоскость треугольника оказалась перпендикулярной к одной из плоско­ стей проекций новой системы, плоскость проекций располага­ ют перпендикулярно к горизонтали, фронтали или профильной Рис. 234, 235.

прямой заданного треугольника. Для этого по плоскости тре­ угольника через его вершину А проведена горизонталь А-1 [70]. Плоскость перпендикулярная к горизонтали А-1 будет перпендикулярна к плоскости треугольника АВС и к плоско­ сти Н [115].

Ось проекций новой системы — Xi проведена перпендику­ лярно горизонтальной проекции горизонтали А-1 [32]. Далее построены проекции вершин треугольника на плоскости Vi [ 120]. ' Прямая соединяющая проекции Ь/, а /, с / определила проекцию треугольника на плоскость Vi, а угол а — наклон­ плоскости треугольника к плоскости Н [60].

128 На рис. 236 решение аналогичной задачи проведено путем замены плоскости Н на плоскость Hi.

Для этого по плоскости треугольника проведена фронталь А-1 [71], перпендикулярно которой и расположена пло­ скость Н].

Рис. 236.

Ось Xi проведена перпендикулярно к фронтальной проек­ ции фронтали а '!7 [32]. Линия, соединяющая проекции cj, а ь bj, определила проекцию треугольника на плоскости Н ь а угол р — наклон плоскости треугольника к плоскости V.

129 На рис. 237 и 238 аналогичное преобразование выполнено для плоскости, заданной следами.

Следы плоскости можно рассматривать, как главные линии этой плоскости, расположенные в соответствующих плоскостях проекции. Поэтому при преобразовании плоскости Р, напри­ мер, во фронтально проектирующую, положение плоскости V определяют так, чтобы ось проекции Xi новой системы состав­ ляла с Р н прямой угол [60]. Так как Р н при переходе от «ста­ рой» к «новой» системе плоскостей проекций не меняет своего положения, задача сводится к определению фронтального еле* „ V, да заданной плоскости в системе —, н Точка Р х, через которую проходит Ру,, определена в пере* сечении Рн и оси Х ь В качестве второй точки, определяющей направление искомого следа, в плоскости Р взята произволь­ ная точка, расположенная на Р у, и построена ее проекция п /.

Рис. 239. Рис. 240

Новая фронтальная проекция любой точки плоскости \ всегда будет на фронтальном Pv следе этой плоскости [60] поэтому P v, проведен через точки Р х, и п /.

Угол а, образованный P v, и осью Х ь определяет наклон плоскости Р к плоскости проекций Н.

130 На рис. 239 показано преобразование плоскости общего положения Р в горизонтально-проектирующую.

Для решения Задачи плоскость- проекций Н заменена на плоскость Нь Новая ось проекций Xi проведена перпенди­ кулярно P v [59] и в пересечении Xi и Pv отмечена новая точ­ ка сходов следов плоскости — Рх, !

Далее в плоскости Р взята точка М [68] построена ее новая горизонтальная проекция — mi [121] и через точки Рх, и 'mi проведен след Рн,. Угол р между X! и Р н, определяет наклон плоскости Р к плоскости проекций Vг) Преобразовать эпюр так, чтобы данная плоскость стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

V. На рис. 240 в системе плоскостей проекций рр~ горизонтально-проектирующая плоскость задана треугольником АВС [59].

Для решения задачи плоскость V заменена на Vi — парал­ лельную треугольнику АВС [120], пбэтому ось проекций парал­ лельна горизонтальной проекции треугольника [64].

определяет его истинную величину.

132 На рис. 241 приводится решение аналогичной задачи для плоскости общего положения.

–  –  –

Центр окружности Е располагается в точке пересечения t оси IT с плоскостью Р, а радиус окружности вращения R ра­ вен расстоянию от точки А до оси ITео Если ось вращения параллельна плоскости проекций или лежит в ней (рис. 243), то проекция окружности вращения представляет собой прямую, перпендикулярную к проекции оси вращения на ту же плоскость;

б) Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной плоско­ сти проекций 134 При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоско­ сти проекций, руководствуются следующим:

а) точка, вращаясь вокруг оси, описывает окружность, плоскость которой перепндикулярна оси вращения [133];

б) проекция точки на той плоскости проекций, куда ось проектируется в точку, перемещается по окружности того же радиуса, что и сама точка [63];

в) две другие проекции точки перемещаются по прямым, параллельным соответствующим осям проекций [63].

На рис. 244 и 245 приведены: наглядное изображение и эпюр точки А, вращающейся вокруг оси 11ь перпендикулярной плоскости проекций Н. Точка А движется по окружности в резка прямой, параллельной соответственно осям X и У.

На рис. 246 показано преобразование эпюра при повороте точки А на угол ср вокруг оси, перпендикулярной плоскости V.

Фронтальная проекция а', описав дугу окружности, смести­ лась на заданный угол с в положение а /. Горизонтальная р проекция а, переместившись по прямой, параллельной оси X, остановилась в положении а ь 135 На рис. 247 показано вращение точки А вокруг оси II, параллельной плоскости проекций Н.

Рис. 247.

Горизонтальная проекция окружности вращения точки А вокруг оси Hi будет прямая линия [133], длина которой равна двум радиусам окружности вращения. Так как окружность, по которой движется точка А, находится в горизонтально-проектирующей плоскости Q, наклоненной к плоскости проекций V под некоторым углом, ее фронтальная проекция будет эллипсомПостроение проекций окружности вращения может быть выполнено следующим образом. Зная положение точки А и оси вращения Пь вначале отмечают проекции центра враще­ ния точку Т [52] и определяют истинную величину радиуса R [43] вращения точки А. Затем, отложив от точки t по перпен­ дикуляру к lii в обе стороны величину R, получают точки 1 и 2, ограничивающие длину горизонтальной проекции окружности вращения. Построение фронтальной проекции окружности мо­ жет быть начато с точек 3' и 4', если отложить от точки Г, вверх и вниз отрезки, равные R. Прямая 3' 4' определяет ве­ личину большой оси эллипса. Малая ось эллипса ограничи­ вается фронтальными проекциями точек I и II.

Наметив на проекции 1—2 горизонтальную проекцию про­ извольной точки В, принадлежащей окружности вращения, строят прямоугольный треугольник Ыс с гипотенузой, равной R [43].

Длина второго катета определяет превышение — AZ иско­ мой точки над центром окружности Т. Подобным образом можно построить проекции любой промежуточной точки окружности

д) Вращение отрезка прямой линии вокруг оси, перпенди­ кулярной плоскости проекций.

136 Пусть требуется повернуть отрезок прямой АВ (рис. 248) вокруг оси Hi, на угол ф, по направлению движения часовой стрелки. Положение проекций отрезка АВ, после его поворота, определяется новым положением проекций точек А и В, Это может быть выполнено различными построениями.

Так, на рис. 248 вначале был построен треугольник аЫ, за ­ тем определено положение новой горизонтальной проекции точки А после ее поворота на угол ф [134] и на проекции aiU, как на прямой, построен треугольник aj, Ьь 1, равный треу­ гольнику аЫ. Горизонтальная проекция точки В при этом пе­ реместилась на тот же угол ф, что и проекция. Далее построе­ ны новые фронтальные проекции точек А и В.

На рис. 249 решение той же задачи выполнено иначе. Из точки 1 на проекцию ab был опущен перпендикуляр и отмече­ на точка п пересечения этого перпендикуляра с проекцией ab.

После поворота точки п на заданный угол, была построена но­ вая проекция ai bi прямой АВ, а затем определены новые фронтальные проекции точек А и В [134];

137 Вращение плоскости вокруг заданной оси при наличии у плоскости и осп общей точки сводится к вращению прямой линии, принадлежащей этой плоскости, вокруг заданной оси.

На рис. 250 плоскость заданная треугольником АВС по­ вернута вокруг оси Hi на угол ф по направлению движения часовой стрелки. Для решения задачи, по плоскости треуголь­ ника, через его вершину В, был а проведена прямая ВК. пе­ ресекающая ось IB я сторону треугольника АС [47]. Повернуз горизонтальную проекцию прямой ВК. на заданный угол [134], отметили новую горизонтальную проекцию точки I, после ее поворота на угол ср. Затем найдены новые проекции ai и щ вершин треугольника. Новая фронтальная проекция треуголь­ ника а / Ь / с / построена по горизонтальной проекции аДщь На рис. 251 показано вращение плоскости, заданной следа­ ми, вокруг оси IB, перпендикулярной Н.

Для осуществления поворота плоскости Р вокруг оси II] па заданный угол д определена точка В пересечения оси вра­ щения с длиной плоскостью [105]. Затем па заданный угол по­ вернут след Р„, как прямая линия, лежащая в данной плос­ кости [136].

–  –  –

Проведя далее, через точку Е, которая не меняет положе­ ния при вращении плоскости, горизонталь плоскости в новом положении, определяет ее фронтальный след Nb и через него и Рх, проводят новый фронтальный след плоскости.

§ 34 Преобразования эпюра при решении основных задач способом вращения 138 а) Преобразовать эпюр так, чтобы прямая общего поло­ жения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций.

Для приведения прямой AR в положение параллельное, например, плоскости V, ее вращают вокруг осп перпендику­ лярной к плоскости Н рис. 252.

В целях уменьшения построений, ось вращения П]( прове­ дена через одну из крайних точек отрезка прямой, в данном случае через точку А [34]. Так как точка А при повороте отрез­ ка прямой будет неподвижна, задача сводится к вращению вокруг оси IB точки В [134].

Когда прямая АВ займет положение параллельное плоско­ сти V, ее горизонтальная проекция окажется параллельной осп X [30]. ‘ Новая фронтальная проекция а ' Ь', равна длине отрезка прямой АВ, угол а определяет наклон прямой к плоскости проекций Н [33].

Рис. 252. Рис. 253.

139 На рис. 253 прямая общего положения АВ вращением вокруг оси II], перпендикулярной к плоскости V, приведена в положение, параллельное плоскости проекций Н.

Так как ось вращения IIi проведена через точку В [34], реше­ ние задачи свелось к вращению точки А вокруг оси, перпен­ дикулярной плоскости проекций V [134]. Когда прямая АВ оказалась параллельной плоскости Н, новая фронтальная проекция прямой а Д / заняла положение, параллельное оси х [29]. Горизонтальная проекция аф равна длине прямой АВ, а углы (3 и у определяют наклон прямой к плоскостям проек­ ций V H.W [33], ' 140 б) Преобразовать эпюр так, чтобы данная прямая оказа­ лась перпендикулярной к одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим вначале случай, когда данная прямая, парал­ лельна одной из плоскостей проекций.

На рис. 254 фронтальная прямая А В вращением вокруг осп II], перпендикулярной к плоскости V, приведена в поло­ жение, перпендикулярное плоскости Н.

Так как ось И, проходит через точку А. задача свелась к повороту вокруг этой оси точки В [144]. Фронтальная а 1ц проекция прямой в новом положении перпендикулярна к оси X, горизонтальная- преобразовалась в точку а = Ь,.

141 В тех случаях, когда подобное преобразование выполняют для прямой общего положения, ее дважды поворачивают во­ круг двух различных осей (рис. 255).

'Вначале отрезок прямой АВ, поворотом на угол ipi вокруг оси Hi был приведен в положение, параллельное плоскости V [138]. Затем вокруг оси Ь 13, перпендикулярной к плоскости V, он повернут на угол 2 до положения, перпендикулярного р плоскости Н [32, 140].

142 в) Преобразовать эпюр так, чтобы плоскость общего по­ ложения стала проектирующей.

Пусть требуется плоскость общего положения, заданную треугольником А В С, вращением вокруг оси 111, преобразовать во фронтально-проектнрующую. Рис. 256.

Рис. 25В.

Рис. 255.

Для решения задачи по плоскости треугольника АВС че­ рез его вершину А проведена горизонталь А I [70].

Затем треугольник АВС повернут вокруг оси II, на такой угол ф [137J, чтобы горизонталь А I заняла положение, перпен­ дикулярное к плоскости V [32], тогда плоскость треугольника станет проектирующей [115]. Горизонтальная проекция треу­ гольника в новом положении—abjCi, фронтальная проекцияпрямая линия с / а ' Ь / [60].

143 Преобразование плоскости общего положения во фронталь­ но проектирующую, когда она задана следами, приводится на рис. 257. Горизонтальный след Р„ и точка К — пере­ сечения оси II, с плоскостью Р однозначно определяют поло­ жение заданной плоскости в пространстве [55]. Известно, что точка К при вращении плоскости не меняет своего положения.

Поэтому для определения нового положения плоскости Р до­ статочно ее горизонтальный след Р н повернуть вокруг оси II, в положение, перпендикулярное к оси X [136], и отметить точку Рх, [60]. Фронтальный след Р у проведен через точку Р х.

и точку к' [74].

Рис. 258. Рис. 257,

144 На рис. 258 приведено преобразование плоскости общего положения Р в горпзонтально-проектирующую вращением во­ круг оси Ip, перпендикулярной плоскости V.

Для определения нового положения плоскости Р в данном примере, ее фронтальный след P v повернут вокруг оси 11, в положение, перпендикулярное оси X [136]. След Р„, проведен через точку Р х, и горизонтальную проекцию точки К, не меня­ ющей своего положения при вращении плоскости [59].

145 Решение двух последних задач значительно упрощается, если ось вращения лежит в плоскости проекции. На рис. 259 плоскость общего гютожения Р преобразована во фронтально-прооктнрующую вращением вокруг осп Пь лежащей в пло­ скости V.

–  –  –

Для определения нового положения плоскости ее след Р н повернут вокруг осп 1[ь в положение, перпендикулярное к осп X [ 136]. След P v, проведен через точку Р х, и }\' [60]. Такое уп­ рощение задачи объясняется тем, что точка К — пересечения оси с плоскостью Р расположи.на на Р, оказывается задан­ ной и определяется без дополнительных построений.

На рис. 260 плоскость общего положения Р вращением во­ круг оси Ip, лежащей в плоскости Н. аналогично преобразо­ вана в горизонтальную проектирующую. Ре фронтальный след Pv повернут в положение PV t, перпендикулярное к оси X [136].

След Р„, проведен через точку Рх, и к 159]:

146 г) Преобразовать эпюр так, чтобы данная плоскость ока­ залась параллельной одной из плоскостей проекций.

Вначале рассмотрим случай, когда преобразование эпюра требует поворота плоскости вокруг одной оси. Па рис. 261 треугольником ЛВС задана фронтально-проектпрующая пло­ скость.

Для приведения плоскости треугольника в положение, па­ раллельное плоскости проекций Н, он повернут вокруг оси 111, перпендикулярной к плоскости V. В данном случае задача све­ лась к вращению вокруг оси IIj точек В и С [134].

В новом положении треугольника его фронтальная проекдня а'Ь/сГ параллельна оси X, а горизонтальная a bi Cj оп­ ределяет его натуральную величину [63].

На рис. 262 аналогичная задача решена для плоскости об­ щего положения, также заданной треугольником АВС.

Рис. 261. Рис. 262.

Так как в поставленной задаче дана плоскость общего положения, ее решение требует двойного поворота треуголь­ ника вокруг двух различных осей.

Вначале треугольник ЛВС был повернут вокруг оси, пер­ пендикулярной плоскости проекций И и проходящей через вершину треугольника А, до положения фронтально-проектирующей плоскости [142].

В результате второго поворота вокруг оси, перпендикуляр­ ной и проходящей через вершину треугольника С, треугольник приведен в положение, параллельное плоскости проекций II [146]. ‘ ' 147 Далее рассматривается решение аналогичной задачи, когда плоскость общего положения преобразуется в плоскость, па­ раллельную плоскости проекций, вращением вокруг одной оси.

Этот прием обычно используется.при определении величи­ ны плоской фигуры. Для этого ее вращают вокруг оси, парал­ лельной какой-нибудь из плоскостей проекций и лежащей в плоскости данной фигуры или параллельной оси.

На рис. 263 задача решена вращением треугольника АВС вокруг его горизонтали.

Для этого по плоскости треугольника через вершину А была проведена горизонталь А-1 [70]. Вращая треугольник во­ круг этой горизонтали, его приводят в положение, параллель­ ное плоскости Н [133]. Когда треугольник займет положение, параллельное плоскости Н, то радиусы вращения его вер­ шин В и С спроектируются па плоскость Н без искажения [63].

–  –  –

Поэтому построение натуральной величины треугольника сводится, по существу, к определению длины радиусов враще­ ния его подвижных вершин.

На рис- 263 задача решена по следующему плану:

а) построены проекции b—2 и Ъ'—2' радиуса вращения вершины В [50] и определена его истинная величина [138];

б) от горизонтальной проекции точки II, по перпендикуля­ ру к проекции а—1. отложен отрезок, равный величине радиу­ са вращения вершины В. Эти построения определили точку Ь2 — горизонтальную проекцию вершины В, когда плоскость треугольника параллельна Н;

в) так как сторона треугольника ВС проходит через не­ подвижную точку 1, горизонтальная проекция этой стороны, в новом положении треугольника, проведена через проекции Ь2 и 1 до пересечения с перпендикуляром к проекции а— 1, про­ ходящим через горизонтальную проекцию точки III. Точка С.

определила положение проекции вершины С. когда треуголь­ ник параллелен плоскости Н, а фигура ab2Ci его истинную ве­ личину [63].

§ 35, Способ совмещения 148 Этот способ является частным случаем способа вращения, когда заданную плоскость, вращая вокруг одного из ее следов, совмещают с плоскостью проекций.

След плоскости, расположенный в той плоскости проекций, с которой совмещают данную плоскость, не меняет своего по­ ложения в пространстве.

Рис. 264, 265.

Поэтому для определения, например, совмещенного с пло­ скостью проекций Н положения плоскости Р достаточно опре­ делить совмещенное с плоскостью Н положение любой ее точки.

На рис. 264 такая точка N выбрана на фронтальном следе плоскости. При совмещении плоскости Р горизонтальная про­ екция точки N перемещается по перпендикуляру к Рн [133].

На этом перпендикуляре и отмечена точка Nj. Ее расстоя­ ние от Р х равно расстоянию от Р х^ до точки N.

Совмещенный фронтальный след PV проведен через точку l Р х и точку Nj. Решение этой задачи на эпюре приведено на рис. 265. На рис. 266 показан другой путь определения совме­ щенного с плоскостью Н положения точки N..

Вначале была определена величина радиуса вращения не­ которой точки N вокруг Р„ [50, 133]. Затем от горизонтальной проекции точки М по перпендикуляру к Рн отложен отрезок, равный радиусу вращения точки N. Точка Ni определила сов­ мещенное с плоскостью Н положение точки N.

На рис. 267 выполнено совмещение плоскости общего по­ ложения Р с плоскостью проекций V.

Рис. 266. Рис. 267.

Так как в данном случае требовалось найти совмещенное с плоскостью V положение горизонтального следа, то для ре­ шения задачи на Р н была намечена некоторая точка М. Поеле определения ее совмещенного положения — Mi, совмещен­ ный горизонтальный след Р н, проведен через точки Р х и Мь 149 Совмещение точек, лежащих в плоскости, но не принадле­ жащих ее следам, обычно выполняют с помощью прямых ли­ ний плоскости, проходящих через данную точку. Для этого вначале определяют совмещенное положение плоскости [148], затем находят совмещенное положение прямой. Для определе­ ния совмещенного положения любой из главных линий плос­ кости достаточно найти совмещенное положение одной из то­ чек этой прямой. Для прямой общего положения находят сов­ мещенное положение двух точек прямой (обычно это бывают ее следы). Так. на рис. 268—270 определено совмещенное с плоскостью Н положение точки А, лежащей в плоскости Р.

На рис. 268 совмещенное положение точки А найдено с помощью горизонтали AN [70], на рис. 269 с помощью фрон­ тали AM [71], а на рис. 270 с помощью прямой общего поло­ жения MN [67].

Определив в каждом из примеров совмещенное с плоско­ стью Н положение прямой, на которой находится точка, точ­ ку А[ отметили на пересечении совмещенного положения пря­ мой и перпендикуляра к Р,., проходящего через горизонталь­ ную проекцию точки А [133].

На рис. 271 показано совмещение плоскости Р и точки А, лежащей в ней, с плоскостью проекций V.

Совмещенное положение точки А определено с помощью фронтали AM.

150 Д алее приводится пример применения способа совмещения к решению задач на определение величины плоской фигуры.

Так на рис. 272 способом совмещения определена величина треугольника KLM, лежащего в плоскости Р.

–  –  –

Плоскость Р вместе с треугольником KLM совмещена с плоскостью проекций I I [148, 149].

Точка М при совмещении плоскости не меняла своего по­ ложения, поэтому точка Mi совпала с проекцией ш. Точка К, принадлежащая следу P v, переместилась в положение Кь Совмещение точки L, не лежащей на следах плоскости, опре­ делено с помощью горизонтали LN.

Треугольник КД.-.М; определяет истинную величину задан­ ного треугольника.

На рис. 273 подобная задача решена при наличии на эпю­ ре только одного следа плоскости заданного треугольника.

Треугольник повернут вокруг Рн до совмещения с плоско­ стью проекций Ы Горизонтальные проекции его вершин при этом перемещались по перпендикулярам к Р н [133].

Далее определено совмещенное положение вершины В [148], затем точка Bi соединена с точками М и Mi горизон­ тальными следами сторон треугольника АВ и ВС и на этих прямых отмечены совмещенные с плоскостью Н положения точек А и С.

Ь'

–  –  –

§ 36, Применение способов преобразования проекций к решению метрических задач Определение расстояний 151 а) Расстояние между двумя точками Задача сводится к определению длины отрезка прямой, соединяющей данные точки [46].

152 б) Расстояние от точки до прямой Степень сложности задачи зависит от расположения пря­ мой относительно плоскостей проекций [52, 119].

Для решения задачи эпюр преобразуют так, чтобы прямая оказалась перпендикулярной к одной из плоскостей проекций.

На рис. 274 расстояние от точки С до прямой АВ определе­ но заменой плоскостей проекций [126]. Проекция Q Ki опреде­ лила расстояние от точки С до прямой АВ [33].

Рёшение той же задачи способом вращения приведено на рис. 275.

Сначала вращение прямой АВ и точки С выполнено вокруг оси Пи перпендикулярной к плоскости Н [138], затем вокруг оси Ыз, перпендикулярной к плоскости V [139J. Расстояние между горизонтальными проекциями прямой и точки, после второго поворота, определило величину расстояния от точки С до прямой АВ.

Рис. 275, Рис. 274

153 в) Расстояние между двумя параллельными прямыми Это расстояние определяется длиной перпендикуляра, опу­ щенного из какой-либо точки одной прямой на другую, поэ­ тому и решение задачи может быть сведено к предыдущей [152]. Однако если заданные прямые перпендикулярны к пло­ скости проекций, то расстояние между ними проектируется на эту плоскость в натуральную величину, поэтому и решение з а ­ дачи может быть основано на таком преобразовании эпюра, в результате которого заданные прямые становятся перпенди­ кулярными к одной из плоскостей проекций.

На рис. 276 проекции параллельных прямых АВ и CD двой­ ной заменой плоскостей проекций преобразованы в точки [126].

Расстояние между a t b, и щ dj определяет расстояние меж­ ду прямыми АВ и CD [33].

На рис. 277 такая же задача решена методом вращения.

Вначале прямые АВ и CD повернуты вокруг оси, перпенди­ кулярной к плоскости проекций Н в положение, параллельное плоскости V [138], затем вращением вокруг оси, перпендикулярнои плоскости V, они преобразованы в прямые, перпенди­ кулярные плоскости Н [140].

Расстояние между горизонтальными проекциями прямых, после второго поворота, определяет расстояние между пря* мыми [33].

а Рис. 276.

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряет­ ся длиной перпендикуляра EF, общего к заданным прямым АВ и CD. Рис. 278.

Если одна из прямых, например СП, перпендикулярна к плоскости проекций Н, то перпендикуляр EF, общий к задан­ ным прямым, и угол между ним и другой прямой (АВ) про­ ектируется на эту плоскость в натуральную величину.

Решение этой задачи на эпюре приведено на рис. 279.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2014 Т. 6 № 2 С. 331344 ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ УДК: 004.02 Методика работы с унаследованными информационными...»

«Вычислительно-эффективный метод поиска нечетких дубликатов в коллекции изображений © Пименов В.Ю. Санкт-Петербургский Государственный университет, факультет Прикладной математики процессов управления vitaly.pimen...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ _ Кафедра вычислительных методов и программирования А.И. Волковец, А.Б. Гуринович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Конспект лекций для студентов вс...»

«Геоинформатика-2012 Т. 19. № 2. С. 29 39 УДК 519.2+550.34+681.3(04) Н.А.Сычева, Л.М. Богомолов, В.Н. Сычев В.Н. ГЕОИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ АНАЛИЗА ПОТОКОВ СЕЙСМИЧЕСКИХ И АКУСТОЭМИССИОННЫХ СОБЫТИЙ КАК РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ На основе современных Case-технологий разработана ГИС REFSt...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 201224 ОУК В.П. Воеводин Эволюция понятия и показателей надёжности вычислительных систем Протвино 2012 УДК 004.41 М-24 Аннотация Воеводин В.П. Эволюция понятия и показателей надёжности вычислительных систем: Препринт ИФВЭ 201224. Прот...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРОБЛЕМЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАТИКИ В ВУЗЕ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ (ППМФИ-...»

«223 Комплексная системно-динамическая модель рыночной диффузии Шишаев М.Г. Институт информатики и математического моделирования КНЦ РАН, Москва КОМПЛЕКСНАЯ СИСТЕМНО-ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЫНОЧНОЙ ДИФФУЗИИ ИННОВАЦИОННОГО ПРОДУКТА В статье представлена структура и состав комплексной системно-д...»

«ЗАДАНИЯ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ЭТАПА ИНФОРМАТИКА Информатика 9 класс Время выполнения заданий: 180 минут Максимальное количество баллов – 100 Задание 1 (20 баллов). ПТИЦЫ Имя входного файла: стандартный ввод Имя выходного файла: стандартный вывод Ограничение...»

«TNC 320 Руководствопользователя Программированиециклов Программное обеспечение с ЧПУ 771851-02 771855-02 Русский (ru) 5/2015 Основные положения Основные положения О данном руководстве О данном руководстве Ниже приведен список символов-указаний, используемых в данном руководстве Этот символ указывает на то, ч...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ: Первый Заместитель Министра Заместитель Министра Российской Федерации по связи образования Российской Федерации и информатизации _ В.Д. Шадриков _ Ю.А. Павленко 10 032000 г. 23_02_2000 г. Регистрационный номер 20тех/дс ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕ...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» «Институт информационных технологий» Кафедра...»

«Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и менеджменту качества Е.Н.Живицкая 26.03.2015г. Регистрационный № УД -4-200/р «ТЕОРЕТИЧ...»

«К.А. Кирьянов, В.С. Сизиков УДК 621.397 ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИСКАЖЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА C/C++ В СИГНАЛЬНЫХ МИКРОПРОЦЕССОРАХ ФИРМЫ TEXAS INSTRUMENTS К.А. Кирьянов, В.С. Сизиков Рассматривается инструментальная реализация алгоритмов восстановления искаженных (смазанных, дефокусированных и (или) зашу...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР при поддержке РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ (ММРО-11) Доклады 11-й Всероссийской конференции Москва Оргкомитет Председатель: Журавлев Юрий Иванович, академик РАН Зам. председателя: Лахно Виктор Дмитриевич, д.ф.-м.н....»

«Специальность «Транспортная логистика». Дисциплина «Информатика» Лабораторная работа 4. Инструменты анализа прикладных данных в MS Excel Цель работы:  1. Научиться устанавливать контроль ввода данных в MS Excel.  2. Научиться выполнять поиск нужной информации с помощь...»

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» «УТВЕРЖДАЮ» Декан факультета _ФИСТ наименование факультета Салмин А.А._ подпись Фамилия И.О. « » _ 2014_ г. РА...»

«RIGHTUSECHECKER. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА Васенина Д.А. Пермский государственный национальный исследовательский университет, кафедра математического обеспечения вычислительных систем Пермь, Россия RIGHTUSECHECKER. DESCRIPTIO...»

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Математических Методов Прогнозирования ДИПЛОМНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА 517 ГРУППЫ Генерация текстурных признак...»

«ДОКЛАДЫ БГУИР № 1 (17) ЯНВАРЬ–МАРТ УДК 681.325 МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РАССЕИВАЕМОЙ МОЩНОСТИ В ЦИФРОВЫХ КМОП СХЕМАХ И.А. МУРАШКО Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь Поступила в редакцию 30 ноябр...»

«Министерство общего и профессионального образования Свердловской области Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Свердловской области «Институт развития образования» Кафедра информационных технологий Современный урок информатики в у...»

«236 УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА УДК 519.21 А.Г. Буймов, Б.А. Буймов Вероятностная модель эффекта повторений в обучении Разрабатывается вероятностная модель принципа повторений и выводится формул...»

«Анализ мотивации, целей и подходов проекта унификации языков на правилах Л.А.Калиниченко1, С.А.Ступников1 Институт проблем информатики РАН Россия, г. Москва, 117333, ул. Вавилова, 44/2 {leonidk, ssa}@ipi.ac.ru Аннотация. Работа посвящена анализу стандарта W3C RIF (Rule Interchange...»

«СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС» – НАУКА №6_2005 АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ ДЛИНЫ БИЕНИЙ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ ПМД ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН РЕФЛЕКТОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В.А. Бурдин, А.В. Бурдин 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, д. 23 тлф./факс (846) 2...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в магистратуру по специальности 1-39 8...»

«2 Паспорт теоретического задания заключительного этапа Всероссийской олимпиады профессионального мастерства обучающихся по специальности среднего профессионального образования 09.02.03 Программирование в компьютерных системах Теоретическое задание заключительного...»

«УПРАВЛЕНИЕ И КОНТРОЛЬ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ОБРАБОТКИ СПУТНИКОВЫХ ДАННЫХ В.Ю. Ефремов, Е.А. Лупян, А.А. Мазуров, А.А. Прошин, Е.В. Флитман Институт космических исследований РАН E-mail: info@d902.iki.r...»

«Вестник СибГУТИ. 2015. №1 35 УДК 004.052.2 Методика решения измерительных и вычислительных задач в условиях деградации информационно-вычислительной системы В.В. Грызунов Информационно-вычислительные системы (ИВС) военного назначения должны решать поставленные задачи в условиях воздействия...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2008 Математические основы компьютерной безопасности № 1(1) УДК 681.322 РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛИТИК БЕЗОПАСНОСТИ В КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМАХ С ПОМОЩЬЮ АСПЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Д.А. Стефанцов Томс...»

«А. И. АЛЕКСЕЕВ. ПЕРВАЯ РЕДАКЦИЯ ВКЛАДНОЙ КНИГИ КИРИЛЛОВА БЕЛОЗЕРСКОГО МОНАСТЫРЯ А. И. Алексеев* Первая редакция вкладной книги Кириллова Белозерского монастыря (1560 е гг.) Вкладные книги русских монастырей заслуженно пол...»





















 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.