WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«УДК 519.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ СЕЛЬКОВА В ПРИСУТСТВИИ ВНЕШНЕЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИЛЫ © 2013 А. Ю. Верисокин аспирант каф. общей физики e-mail: ffalconn Курский ...»

УДК 519.8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ

СЕЛЬКОВА В ПРИСУТСТВИИ ВНЕШНЕЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИЛЫ

© 2013 А. Ю. Верисокин

аспирант каф. общей физики

e-mail: ffalconn@mail.ru

Курский государственный университет

В работе обсуждаются вычислительные особенности расчёта показателей Ляпунова

на примере системы Селькова с периодическим втоком, которая описывает

гликолитические колебания. Детально описана программная реализация алгоритма Вольфа в среде MATLAB и выбор его параметров. Численное решение рассматриваемой системы иллюстрирует существование трёх возможных режимов: а) гармонические колебания, представляющие собой предельные циклы на фазовой плоскости, внутри областей захвата;

б) хаотический режим со странными аттракторами на фазовой плоскости между языками Арнольда; в) квазипериодические колебания с двумерными торами в качестве фазовых портретов на границах областей захвата.

Ключевые слова: хаотические колебания, показатели Ляпунова, модель Селькова, синхронизация, языки Арнольда, гликолитическая реакция, MATLAB.

ВВЕДЕНИЕ

При исследовании нелинейных систем одной из важных задач является определение типа колебаний – периодического, квазипериодического, случайного, хаотического. Особенно сложно отличить квазипериодические колебания от хаотических и случайных, так как квазипериодические колебания часто имеют очень сложную форму, визуально слабо отличимую от «случайной». В настоящее время существуют различные критерии определения хаоса [Лоскутов, Михайлов 2007].



Простейшим методом является исследование спектра колебаний на основе анализа Фурье. Дискретность спектра идентифицирует периодические или квазипериодические колебания, в случае непрерывности спектра колебания являются либо хаотическими, либо случайными. В качестве альтернативы анализу Фурье также успешно применяется вейвлет-анализ динамических систем. Другой метод основан на применении отображений Пуанкаре, то есть сечений фазовой траектории при помощи секущей поверхности. Отображение Пуанкаре случайного процесса будет иметь вид облака, а для квазипериодических и хаотических решений – форму некоторой линии.

Особенностью хаотических колебаний является их высокая чувствительность к малым изменениям начальных условий. Поэтому одним из наиболее надежных способов детектирования хаоса является определение скорости разбегания траекторий, которая оценивается с помощью показателей Ляпунова. Для n -мерной динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями dxi (1) = Fi ( x1,..., xn ), i = 1,..., n,

–  –  –

% где xi (T ) определяет взаимное отклонение двух траекторий. Геометрический смысл показателей Ляпунова состоит в том, что два решения, начальные значения которых расположены в некоторой окрестности радиуса, за время T разойдутся в n -мерный эллипсоид по n главным полуосям и в момент времени t радиусы будут определяться значениями eit, i = 1,..., n [Кузнецов 2006]. Знаки показателей Ляпунова полностью характеризуют тип колебаний решения динамической системы. Наличие положительного показателя является критерием хаотичности решения динамической системы.

Для большинства динамических систем расчёт показателей Ляпунова возможен только численно. В настоящее время существует несколько алгоритмов. Наиболее важно определение старшего (наибольшего) показателя Ляпунова, так как именно он описывает тип колебаний. Для его вычисления обычно используется алгоритм Бенеттина [Benettin et. al. 1980]. Так как компонент решения, отвечающий старшему показателю Ляпунова, является доминирующим по величине, то для вычисления младших показателей приходится использовать специальные методы, один из наиболее точных и надёжных из которых основан на ортогонализации Грама – Шмидта [Wolf et.



al. 1985].

Предложенная в цитируемой работе программная реализация приведена на языке FORTRAN, который в настоящее время используется для математического моделирования достаточно редко, в отличие от программной среды MATLAB. Один из вариантов трансляции алгоритма Вольфа для MATLAB был предложен в рамках базирующегося на нём модуля для исследования динамических систем MATDS [MATDS 2004]. Однако этот модуль использует специальный графический интерфейс, не дающий полного доступа к параметрам алгоритма при задании системы исследуемых дифференциальных уравнений, а также включает в подпрограмму обращение к ряду внутренних переменных модуля.

Поэтому практическую пользу представляет реализация в MATLAB алгоритма Вольфа «в чистом виде», в форме, явным образом идентифицирующей контролирующие параметры. Для её тестирования проводится поиск показателей Ляпунова на примере математической модели Селькова фосфофруктокиназной фазы гликолитической реакции [Selkov 1968] с добавлением внешнего периодического возмущения и исследование типа решений при различной его интенсивности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

–  –  –

гармонический осциллятор и осциллятор Селькова, также можно ожидать большого разнообразия динамических режимов в зависимости от параметров A и T’.

МЕТОДЫ

Аналитическое определение показателей Ляпунова для системы (5) представляется невозможным из-за отсутствия аналитического решения указанной системы нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому была использована MATLAB-реализация алгоритма Вольфа [Wolf et. al. 1985] (код программы приведён в приложении). В программном коде были частично использованы функции из модуля для исследования динамических систем MATDS [MATDS 2004], однако в данной реализации используются только переменные, непосредственно требуемые алгоритмом.

Метод основан на численном решении системы совместно с уравнениями в вариациях, которые описывают эволюцию бесконечно малого возмущения траектории.

Другими словами, рассматриваются две траектории, удалённые друг от друга на малое расстояние R0, которое через промежуток времени t достигает значения R1.

Максимальный показатель Ляпунова на каждом шаге находится по формуле max = log 2 | R1 / R0 | / t. С увеличением времени вычисления расчётное значение показателя Ляпунова приближается к реальному. Для реализации описанного алгоритма используется программная среда математического пакета MATLAB.

В программе система Селькова задаётся функцией Selkov, в которую в качестве входных параметров передаются параметры системы, начальные значения переменных и временная переменная. В теле функции заданы правые части системы (5) и якобиан системы, на основе которых строятся уравнения в вариациях. Поиск показателей Ляпунова производится функцией lyapunov, в которую передаются параметры исследуемой системы, начальные значения, время расчёта и параметры решателя ОДУ.

В блоке 1 функции lyapunov происходит инициализация необходимых при вычислении переменных. Непосредственное определение показателей Ляпунова происходит в основном цикле. В блоке 2 производится численное решение исследуемой системы с уравнениями в вариациях, которые позволяют определить отклонения траекторий. В блоке 3 происходит процесс ортогонализации Грама – Шмидта решения системы, позволяющий выделить все показатели Ляпунова и исключить влияние доминирующего старшего показателя на младшие. После этого подсчитываются суммы ортогонализованных отклонений. Наконец, в блоке 4 находятся показатели Ляпунова перенормировкой полученных сумм по времени вычисления. Цикл продолжается большое число раз, что позволяет точно приблизить расчётными величинами реальные значения показателей Ляпунова.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

Систему (5), несмотря на то, что она состоит из двух ОДУ, необходимо считать трёхмерной, так как параметр втока v, в отличие от системы (3), не является независимым, а колеблется периодически во времени по закону (4). Это означает, что система (5) имеет три показателя Ляпунова, один из которых всегда равен нулю в связи с периодичностью v. В зависимости от значений оставшихся показателей фазовые траектории системы могут относиться к одному из трёх типов: показатели отрицательны – устойчивый предельный цикл, показатели имеют разные знаки – странный аттрактор, один из показателей равен нулю – устойчивый двумерный тор.

–  –  –

в) Рис. 2. Вычисление старшего показателя Ляпунова системы Селькова (5) при значениях параметра периодического втока A = 1, T ' = 8 и начальных условиях x0 = 1.5, y0 = 1.4 : а) линейные координаты,

б) логарифмические координаты, в) вычисления показателей Ляпунова при тех же параметрах и начальных условиях x0 = 2, y0 = 2 На рисунках 2 а), б) показан пример вычисления старшего показателя Ляпунова для системы (5) при значениях параметров периодического втока A = 0.1, T ' = 8 и начальных условиях x0 = 1.5, y0 = 1.4. Шаг итераций брался равным значению

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

собственного периода системы T ', что соответствует нахождению значения показателя Ляпунова, определяющего расхождение траекторий за один период колебаний.

Абсолютная и относительная погрешности вычислений составляют порядка 1010. Из рисунка 2 видно, что показатель Ляпунова при указанном наборе параметров положителен (кривая с течением времени сходится к малому положительному значению).

Положительность показателя Ляпунова при указанных параметрах указывает на то, что решение системы является хаотическим. Детальный анализ рисунков 2 а), б) позволяет утверждать, что решение системы (5) обладает свойством перемежаемости, то есть преобладающие участки хаотических колебаний чередуются со стадиями квазипериодического поведения.

–  –  –

На участках квазипериодических колебаний величина отклонения траекторий остаётся практически постоянной, а так как max обратно пропорционально t, то мгновенное значение показателя Ляпунова уменьшается по степенному закону. Такие интервалы степенной зависимости могут быть наглядно представлены в логарифмических координатах – график в этом случае принимает вид наклонной прямой (рис. 2 б).

Тем не менее дальнейшие вычисления показателей Ляпунова для времён, больших t 105, демонстрируют преобладание хаоса в системе: вычисляемый показатель max быстро стремится к постоянному положительному значению. Графики в логарифмических координатах, более наглядно показывающие малые отклонения, подтверждают это.

На нижнем графике на рисунке 2 в) показан пример вычисления старшего показателя Ляпунова max для тех же значений параметров втока, что и на рисунках 2 а), б), но при других начальных условиях. Показатель max сначала имеет отрицательное значение, но затем пересекает ноль и стабилизируется в области положительных значений при том же значении, что и на рисунке 2 а), что согласуется с теорией: значения показателей Ляпунова в общем случае не зависят от начальных условий.

При нахождении старшего показателя Ляпунова системы (3), результаты которого представлены на рисунке 2, шаг итераций Ltstep брался равным 8 (период колебаний втока). Данный параметр определяет, на каких промежутках времени будут вычисляться отклонения траекторий. Выбор Ltstep равным периоду втока обоснован тем, что при анализе типа решения системы с внешней силой важным представляется определение влияния силы на протяжении полного периода колебаний, то есть величины отклонения траекторий за целый период. Кроме того, такой выбор шага аналогичен выбору плоскости сечения Пуанкаре при одном и том же значении величины втока. На вставке рисунка 1 а) показана динамика изменения вычисляемых показателей Ляпунова во времени с шагом итерации, равным 8. При меньших значениях шага итераций численное значение сходится к тому же значению, что и на рисунке 2. На рисунке 3 представлены примеры поиска максимального показателя Ляпунова при Ltstep=0.01 и Ltstep=2. На рисунке 3 в) представлена сравнительная динамика изменения расчётных значений показателя Ляпунова в окрестности t 500.

Как видно из графиков, несмотря на более высокую мгновенную точность вычисления показателей Ляпунова при Ltstep=0.01 по сравнению с Ltstep=2, выбор большего значения параметра Ltstep не влияет на точность расчётов, так как вычисление показателей Ляпунова проводится в среднем по фиксированному времени вычислений (в одинаковые значения времени значения показателя при разных Ltstep равны – рис. 3 в)). Выбор маленького шага итераций существенно увеличивает время расчёта показателей Ляпунова. В связи с этим при вычислении показателей Ляпунова параметр Ltstep целесообразно брать достаточно большим (как на рис. 2), при этом необходимо, чтобы амплитуда возмущения траекторий была меньше линейных размеров неоднородностей фазового пространства и, очевидно, размеров самого аттрактора.

На рисунке 4 приведена карта распределения старшего показателя Ляпунова системы (5). При численном анализе амплитуда втока изменялась в пределах от 0 до 1.5 с шагом 0.01, период колебаний величины втока брался в пределах от 0 до 10 с шагом

0.1. Участки, на которых старший показатель Ляпунова отрицательный (холодные тона), – области захвата собственных колебаний системы периодическим втоком (языки Арнольда).

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Вблизи значений периода T '/ m = T0 / n, где n, m • в системе происходит захват колебаний втоком и наблюдаются синхронные колебания порядка n : m ( n колебаний втока соответствуют m колебаниям решения системы). Максимальная ширина области синхронизации наблюдается при T ' T0.

Рис. 4. Карта распределения старшего показателя Ляпунова системы Селькова (5) Старший показатель Ляпунова между языками Арнольда положителен, то есть решения системы оказываются хаотическими. На границах языков Арнольда и областей с хаотическим решением старший показатель Ляпунова равен нулю, то есть фазовый портрет представляет собой устойчивый двумерный тор.

Отдельного внимания заслуживают области, возникающие внутри языков Арнольда при больших значениях втока, в которых показатели Ляпунова являются положительными (для языка Арнольда порядка 1:1 такая область возникает в районе A = 0.4, для 1:2 – A = 0.6, для 1:3 – A = 0.7 ). На этих участках большое значение втока меняет тип стационарной точки системы на устойчивый фокус (см. рис. 1) на продолжительные промежутки времени. Предельный цикл уже не успевает притянуть к себе фазовые траектории за промежутки времени, когда параметр втока меньше значения в точке бифуркации Хопфа. Решения выходят из области притяжения предельного цикла, то есть расходятся, поэтому на таких участках не наблюдается колебательной динамики и определение показателей Ляпунова в таких областях смысла не имеет.

ВЫВОДЫ

Расчет показателей Ляпунова, вычисляемых с помощью алгоритма, предложенного в [Wolf et. al. 1985], допускает эффективную реализацию в среде MATLAB, которая может быть представлена достаточно лаконичным программным кодом, эффективно использующим высокоточные встроенные функции этого языка и возможности управления их параметрами.

Для системы Селькова анализ распределения старшего показателя Ляпунова позволяет сделать вывод о существовании трёх различных режимов колебаний в системе:

–  –  –

1. Периодические колебания внутри языков Арнольда ( max 0 ). Имеет место как захват частот, так и захват фаз колебаний. Фазовые портреты колебаний в этих областях имеют форму устойчивых предельных циклов.

2. Хаотический режим между областями захвата колебаний ( max 0 ), соответствующий странным аттракторам на фазовой плоскости.

3. Квазипериодические колебания на границах доменов ( max = 0 ). Фазовые портреты системы будут представлять собой устойчивые двумерные торы.

Работа выполнена при поддержке фонда некоммерческих программ Дмитрия Зимина «Династия».

–  –  –

Benettin, G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: Acomputing all of them. P. I: Theory. P. II: Numerical application // Meccanica, 1980. V. 15. P. 9–30.

MATDS, 2004. URL: http://www.mathworks.com/MATLABcentral/linkexchange/links/1253matds-toolbox (дата обращения: 12.09.2012) Selkov E.E. Self-oscillations in glycolysis. A simple kinetic model // Eur J. Biochem,

1968. V. 4. P. 79–86.

Verisokin A.Yu., Verveyko D.V. Non-Turing Mechanism of Self-Sustained Structures Formation // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013. V. 23. No. 2. 1350037.

Wolf A., Swift J., Swinney H., Vastano J. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D., 1985. V. 16. P. 285–317.

Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 355 с.

Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем. М. – Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2007. 620 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ: ПРОГРАММНЫЙ КОД

x0=2; y0=2; % начальные значения tend=5e5; % время расчёта % параметры системы Селькова v=2.78; % среднее значения втока субстрата w=2; % скорость оттока продукта A=0.1; % амплитуда колебаний втока T=8; % период колебаний втока Ltstep=8; % временной шаг итераций вычисления показателей Ляпунова [Texp,Lexp]=SelkLyapExp([x0 y0], [v w A T], tend,Ltstep);

plot(Texp,Lexp(:,1),Texp,Lexp(:,2));

title('Dynamics of Lyapunov exponents'); xlabel('t'); ylabel('\lambda_1, \lambda_2');

FUNCTION [Texp,Lexp]=SelkLyapExp(InVal, Param, TimeInt, Ltstep);

% Вычисление показателей Ляпунова системы Селькова % dx/dt=v(t)-xy^2; dy/dt=-wy+xy^2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

% Периодический вток v(t)=v+A*(sin(2*pi*t/T)) % Входные параметры:

% InVal – начальные значения: массив [x0 y0] % Param – параметры системы Селькова: массив [v w A T] % TimeInt – время расчёта % Ltstep – временной шаг итераций вычисления показателей Ляпунова % Выходные параметры:

% Texp – переменная времени, на котором происходил расчёт показателей Ляпунова % Lexp – показатели Ляпунова для каждого значения odeParam=[1e-10 1e-10 1e-5 1e-6]; % параметры солвера [Texp,Lexp]=lyapunov(2,@Selkov,@ode45,TimeInt,Ltstep,InVal,odeParam,Param);

END FUNCTION f=Selkov(t,X,Param);

v=Param(1); w=Param(2); A=Param(3); T1=Param(4); % параметры системы x=X(1); y=X(2); % начальная точка траектории решения системы Y= [X(3), X(5); X(4), X(6);]; % квадратная матрица размерности Якобиана f=zeros(6,1);

% правая часть системы f(1)=v+A*(sin(2*pi*t/T1))-x*y^2; f(2)=x*y^2-w*y;

Jac=[-y^2,-2*x*y;y^2, 2*x*y-w]; % Якобиан системы f(3:6)=Jac*Y;

END FUNCTION [Texp,Lexp] = lyapunov(n, func, ode, TimeInt, stept, ystart, odeParam, SParam);

% n – число ОДУ в системе % func – название функции, описывающей расширенную систему % ode – название солвера ОДУ % ystart – начальная точка траектории решения системы % БЛОК 1 Lexp=[];

Texp=[];

tstart=0;

tend=TimeInt;

options = odeset('RelTol',odeParam(1),'AbsTol',odeParam(2),'MaxStep',odeParam(3),'OutputFcn',@ode outp,'Refine',0,'InitialStep',odeParam(4));

n2=n*(n+1) ; % общее количество ОДУ, n – число нелинейных ОДУ nit = round((tend-tstart)/stept)+1; % число шагов

–  –  –

% инициализация промежуточных переменных y=zeros(n2,1); cum=zeros(n2,1); y0=y; gsc=cum; znorm=cum;

% начальные значения y(1:n)=ystart(:);

for i=1:n

y((n+1)*i)=1.0;

end;

t=tstart;

% основной цикл while ttend % БЛОК 2 tt = t + stept;

if tttend, tt = tend; end;

% решение расширенной системы [T,Y] = ode(@(t,X) func (t,X,SParam),[t t+stept],y);

t=tt;

y=Y(size(Y,1),:);

% БЛОК 3 % создание ортогонального базиса с помощью преобразования Грама — Шмидта % нормализация первого вектора znorm(1)=0.0;

for j=1:n

znorm(1)=znorm(1)+y(n+j)^2;

end;

znorm(1)=sqrt(znorm(1));

for j=1:n

y(n+j)=y(n+j)/znorm(1);

end;

for j=2:n

% создание нормировочных коэффициентов преобразования for k=1:(j-1) gsc(k)=0.0;

for l=1:n gsc(k)=gsc(k)+y(n*j+l)*y(n*k+l); end;

end;

% построение нового вектора

for k=1:n

for l=1:(j-1) y(n*j+k)=y(n*j+k)-gsc(l)*y(n*l+k); end;

end;

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

% вычисление нормы векторов znorm(j)=0.0;

for k=1:n znorm(j)=znorm(j)+y(n*j+k)^2; end;

znorm(j)=sqrt(znorm(j));

for k=1:n y(n*j+k)=y(n*j+k)/znorm(j); end; % нормализация вектора end;

for k=1:n cum(k)=cum(k)+log(znorm(k)); end; % обновление векторов % БЛОК 4 % нормализация экспонент

for k=1:n

lp(k)=cum(k)/(t-tstart);

end;

% Выходные данные – показатели Ляпунова Lexp=[Lexp; lp];

Texp=[Texp; t];

end;

END Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013.

№ 2 (26)






Похожие работы:

«Математическое моделирование субъективных суждений в теории измерительно-вычислительных систем Д. А. Балакин, Б. И. Волков, Т. Г. Еленина, А. С. Кузнецов, Ю. П. Пытьев Рассмотрены методы моделирования неполного и недостоверного знания модели M (x) объекта, зависящей от неизвестного x X, выраженного в форме субъект...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал в г.Самаре Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин ЛЫКОВА Н.П., БОБКОВА Е.Ю. Информатика (Обработка тексто...»

««УТВЕРЖДАЮ» Декан факультета информатики Э.И. Коломиец _2016 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 01.04.02 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА В 2017 ГОДУ Раздел «Математический анализ»1. Достаточные условия сходимости...»

«МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)_ Кафедра “САПР транспортных конструкций и сооружений” С. Н. НАЗАРЕНКО М.А. ГУРКОВА Утверждадено редакционно-издательски...»

«УДК 519.6 МИНИМАЛЬНЫЕ ПО ВКЛЮЧЕНИЮ ДЕРЕВЬЯ ШТЕЙНЕРА: АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ c А. В. Ильченко, В. Ф. Блыщик Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского факультет математики и информатики пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: veb@land.ru Abstract....»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет телекоммуникаций Кафедра защиты информации С. Н. Петров ЦИФРОВЫЕ И МИКРОПРОЦЕССОРНЫЕ УСТРОЙСТВА. МИКРОКОНТРОЛЛЕРЫ AVR. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Рекомендовано УМО по образованию...»

«Программа внеурочной деятельности по информатике и ИКТ «Путешествие в Компьютерную Долину» А.Г. Паутова Целью программы внеурочной деятельности по информатике и ИКТ «Путешествие в Компьютерную Долин...»

«УДК 371.321 ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ КУРСА «ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ» ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ-БАКАЛАВРОВ НА ПРИНЦИПАХ ИНДИВИДУАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА © 2012 Н. И. Бордуков аспирант каф. методики преподавания информатики и информационных технологий e-mail: s...»







 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.