WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«И.С. Меньшиков, Д.А. Шелагин Кооперативное распределение рискового капитала Вычислительный центр РАН МОСКВА 2001 УДК 519.86 Ответственный редактор доктор физ.-матем. ...»

Российская академия наук

Вычислительный центр

И.С. Меньшиков, Д.А. Шелагин

Кооперативное распределение

рискового капитала

Вычислительный центр РАН

МОСКВА 2001

УДК 519.86

Ответственный редактор

доктор физ.-матем. наук А.А. Шананин

В работе рассматривается задача распределения рискового капитала по составляющим портфеля, возникающая из-за

эффекта диверсификации рисков. Для решения задачи используются методы кооперативной теории игр, с помощью которых формулируются принципы распределения и требования, предъявляемые к используемой мере риска. Применение неатомической кооперативной теории к задаче распределения капитала, определяемого когерентными мерами риска, дает существование и единственность такого распределения. Отдельно рассматривается мера риска VaR, для которой результаты могут быть получены в аналитическом виде.

Работа выполнена по гранту, поддержанному Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта 00-15-96118).

Рецензенты: Н.М. Новикова, В.В. Морозов Научное издание © Вычислительный центр РАН, 2001 г. Св. план 2001, поз.

Введение В работе рассматривается задача распределения рискового капитала, т.е. денежных средств, резервируемых финансовой организацией для покрытия возможных убытков. Величина рискового капитала для всей организации определяется используемой мерой риска. В качестве мер риска могут применяться методологии регулирующих органов (центральных банков, международных организаций, таких как Bank For International Settlements - BIS), а также внутренние модели организации, такие как Value at Risk (стоимость риска, VaR).

Рисковый (резервный) капитал не приносит дохода и является фактически затратами. Задача распределения суммарного рискового капитала по составляющим (подразделениям организации, финансовым инструментам и т.д.) возникает из-за эффекта диверсификации рисков, при котором сумма индивидуальных рисков составляющих, взятых по отдельности, превышает суммарных риск всей организации. Так, кооперируя, подразделения уменьшают суммарный рисковый капитал, и сэкономленные средства являются доходом от кооперации, который и нужно «справедливо» поделить между подразделениями.

Для решения этой задачи в работе используются методы кооперативной теории игр, с помощью которых формулируются принципы «справедливого» распределения рискового капитала, а также требования, предъявляемые к используемой мере риска. Отдельно рассматривается мера риска VaR, для которой результаты могут быть получены в аналитическом виде и при этом согласуются с используемой в настоящее время концепцией компонентного VaR.

В первой части работы дается общее определение меры риска и аксиоматическая характеризация «хороших» (когерентных) мер риска согласно подходу, разработанному в [1] с некоторыми уточнениями авторов. Во второй части дается постановка задачи распределения рискового капитала в терминах кооперативной теории игр, а также обзор основных понятий и фактов этой теории применительно к нашей задаче. Основным результатом является непустота ядра в игре, определяемой когерентной мерой риска. Также обсуждается выбор вектора Шепли в качестве значения игры и возникающие в связи с этим проблемы. Для их решения в третьей части задача решается в рамках неатомической кооперативной теории, основные понятия и факты которой также приведены. Основным полученным результатом является то, что ядро неатомической игры, определяемой когерентной мерой риска, состоит из единственного элемента, совпадающего со значением игры – вектором Аумана-Шепли. При этом для вектора Аумана-Шепли получается удобное с вычислительной точки зрения выражение, которое в частном случае для меры риска VaR имеет аналитический вид и согласуется с концепцией компонентного VaR.

1. Риск и меры риска

1.1. Мера риска Объектом изучения в управлении рисками является будущая стоимость (позиции, портфеля, организации) (future value, future net worth), которая вследствие изменений на финансовых рынках, а также прочих событий является случайной переменной X(T), определенной на вероятностном пространстве (W, F, P ), где W - множество возможных состояний в будущий момент времени T, которое будем считать конечномерным; F – s -алгебра; P – вероятностная мера.

Будем считать X (T ) G, где G – множество ограниченных функций над W. Теперь сформулируем наиболее общее определение меры риска.

Определение 1.1. Мера риска есть отображение G®R.

Далее будут рассмотрены два класса мер риска: модельные (или сценарные) – использующие в явном виде распределение вероятностей P (model dependent) и не использующие ее (model free).

Введем несколько обозначений. Запись XY будет означать, что "w W : X (w ) Y (w ). Наиболее общие разумные требования к мере риска задают класс так называемых «когерентных» (coherent) мер риска [1]. Сформулируем эти требования в виде следующих свойств.

Определение 1.2. Мера риска r : G®R называется когерентной, если она удовлетворяет следующим свойствам.

1. Монотонность: если X Y, то r (X) r (Y).

2. Субаддитивность: " X1, X2 G : r (X1+X2) r (X1) + r (X2).

3. Положительная однородность:

" XG, " l 0 : r (l·X) = l·r (X).

Прокомментируем теперь эти свойства и получим некоторые следствия.

1) Эти свойства не определяют какую-либо специфическую меру риска, а характеризуют их обширный класс. Выбор конкретной меры для практического использования должен зависеть от дополнительных требований и условий, что зависит от специфики поставленной задачи.

2) Свойство субаддитивности, означающее «объединение не создает дополнительного риска», отражает свойство диверсификации портфелей, что весьма важно для агрегации рисков, так как оно дает гарантированную оценку для суммарного риска.

3) Свойство положительной однородности является предельным случаем свойства субаддитивности, когда выполняется строгое равенство. В реальности свойство 3 может не выполняться, так как риск может зависеть от величины позиции, например, из-за ограничений ликвидности.

4) r (0) = 0, так как из свойства 3 следует, что r (0) = r (2·0) = 2·r (0).

5) В работе [1] в определении когерентной меры риска присутствует свойство инвариантности к сдвигу:

( ) r X + a r f = r ( X ) - a, где rf – некоторый безрисковый инструмент. В данной работе это требование опущено, так как оно несущественно для получения основных результатов и, более того, имеет нежелательные следствия. Так, например, из него следует, что когерентная мера риска не может быть суммой когерентных мер. Действительно, пусть r ( X ) r1 ( X ) + r 2 ( X ). Тогда ( ) r ( X ) - a = r X + a rf = r ( X ) - a = ( ) ( ) = r1 X + a r f + r 2 X + a r f = r ( X ) - 2a.

Помимо этого, с экономической точки зрения данное свойство означает, что добавление безрискового инструмента уменьшает риск, который мы определили как неопределенность будущей стоимости, которая при добавлении безрискового инструмента никак не изменяется.

1.2. Сценарные меры риска Данные методы в различных модификациях наиболее широко применяются на практике, в основном для внутренних целей организаций (в терминологии BIS они называются внутренними моделями), но также они используются и биржами, например, в системе SPAN (Standard Portfolio ANalysis of Risk

– система расчета маржи (контрактной гарантии), используемой на Chicago Mercantile Exchange). На примере SPAN сначала проиллюстрируем данный метод, а затем дадим его общее определение.

Мера риска в SPAN вычисляется следующим образом:

1) Генерируется 14 сценариев, характеризующихся изменением цены базового актива на 0, ±1/3, ±2/3, ±3/3 некоторой величины, наряду с увеличением или уменьшением волатильности (это нужно при расчете цен опционов).

2) Добавляются 2 сценария, характеризующие экстремальные изменения цены (экстремальные точки).

3) Для каждого сценария рассчитываются цены активов и соответственно стоимость портфеля. Мера риска вычисляется как максимум из двух чисел: наибольшей потери по 14 сценариям и 35% от максимальной потери из двух экстремальных точек.

Рассмотрим этот метод с точки зрения изложенной выше формализации. Пространство W состоит из 14 «обычных» сценариев, а также двух «обобщенных» сценариев, представляющих собой выпуклую комбинацию с весами (0.35, 0.65) экстремальной точки и точки с неизменными ценами (и соответственно нулевым изменением стоимости портфеля). Мера риска есть максимум потерь на W.

Определение 1.3. Мера риска, определяемая непустым множеством S вероятностных мер на W формулой r S ( X ) := sup{E P [- X ] P S }, (1.1) называется сценарной.

В [1] доказывается, что эта мера риска является когерентной, а также то, что любая когерентная мера риска может быть получена посредством сценариев. Этот факт формулируется в виде следующего утверждения.

Утверждение 1.1. Мера риска r является когерентной тогда и только тогда, когда существует множество S вероятностных мер над W такое, что r ( X ) = sup{E P [- X ] P S }.

Замечание 1. Чем больше рассматривается сценариев, тем более консервативной является мера риска (т.е. дает большее значение риска).

Замечание 2. Сценарные меры риска могут быть получены выбором в качестве множества S определенного семейства вероятностных распределений, например нормального.

1.3. Меры риска Value at Risk (VaR) Эта разновидность мер риска является стандартом дефакто в управлении рисками. Их статистические и вычислительные аспекты хорошо изучены. В то же время свойства VaR именно как меры риска практически не исследовались, что и вызывает многочисленные дискуссии вокруг применимости этих методов.

Определение 1.4. Для заданного уровня достоверности a(0;1) мера риска VaR определяется как VaRa ( X ) := - inf {x P [ X x] a }. (1.2) Замечание 1. Мера VaR в общем случае не удовлетворяет условию субаддитивности.

Пример (из [1]). Пусть X1 и X2 – независимые одинаково распределенные случайные переменные, имеющие плотность вероятности 0.9 на отрезке [0, 1] и 0.05 на отрезке [-2, 0].

При a = 0.1 : VaRa(X1) = VaRa(X2) = 0; в то же время нетрудно подсчитать, что VaRa(X1+X2)0 (так, P((X1+X2)0) = 0.135a).

Замечание 2. Если квантили распределений вычисляются в предположении о совместно нормальном распределении, то условие субаддитивности выполняется, так как s X +Y s X + s Y для любой пары переменных, а следовательно, ( ) VaRa ( X ) = - E P [ X ] + F -1 (a )s P ( X ) (1.3) удовлетворяет условию субаддитивности при a 0.5 (здесь Ф – нормальная функция распределения, Ф(0.5)=0). Также условие субаддитивности выполняется для более общего класса – эллиптических распределений.

Благодаря тому, что для нормального распределения мера VaR представляется в аналитическом виде, она достаточно просто вычисляется, а также во многих случаях ее можно продифференцировать, что можно использовать при оптимизации портфеля.

1.4. Немодельные меры риска Данный подход состоит в рассмотрении портфеля как формального списка некоторых инструментов, для каждой из которых определена величина риска, при этом суммарный риск равен сумме рисков по отдельным бумагам. В терминологии BIS это называется «стандартизованным методом». Примером такого рода меры риска являются правила расчета маржи SEC (Securities and Exchange Commission).

Пример 1.1.

Мера риска SEC Данная мера риска применима к портфелям, состоящим из коротких и длинных позиций по колл-опционам с одинаковой датой исполнения и различными ценами исполнения, которые будем обозначать через CK (K – цена исполнения). Через SH,K будем обозначать спрэд из одного «длинного» CH и одного «короткого» CK опционов: SH,K := CH - CK. Эти спрэды и играют роль «стандартных» рисков, посредством которых описывается портфель и вычисляется мера риска. Для каждого спрэда SH,K мера риска (маржа – в терминах SEC) равна ( H - K ) + max( H - K ; 0).

В правилах SEC не указан способ декомпозиции портфеля на спрэды, и соответственно величина маржи зависит от той декомпозиции, которую произвел держатель портфеля. Естественно, целью держателя является минимизация маржи, что мы осуществим следующим способом.

Пусть портфель A состоит из набора aH колл-опционов CH, где HM – конечному множеству цен исполнения. Для простоты положим H a H = 0.

Мера риска (величина маржи) вычисляется следующим образом:

–  –  –

при условиях: n H, K 0; A= nH,K S H,K. Решение этой заH,K,H K дачи линейного программирования дает декомпозицию портфеля с минимальной для держателя маржой, которая может быть вычислена по правилам SEC. Рассмотрим конкретный пример.

Цена исполнения 10 20 30 40 50 Кол-во опционов -1 -2 8 -7 2

Решение оптимизационной задачи дает результат:

n30,10 = 1, n30,20 = 2, n30,40 = 5, n50,40 = 2, остальные nH,K = 0. В результате получаем значение маржи, равное 60.

Замечание. В отличие от мер, основанных на сценариях, в данном случае чем меньше изначальных стандартных рисков (т.е. множество Ф), тем консервативней мера риска.

Это хорошо видно на приведенном выше примере: простой графический анализ (см. рис.1) показывает, что стоимость портфеля опционов не может быть более 40, в то время как значение меры риска равно 60. В терминах сценариев это означает, что рассматривается слишком много сценариев, среди которых есть и не реализуемые в действительности.

Теперь добавим еще к стандартным рискам «бабочку»

(butterfly) BH. Так, например, В20 := C10 - 2C30 + C40 имеет положительную стоимость (риск равен нулю), в то время как ее декомпозиция на спрэды дает B20 = S10,20 + S30,20, что имеет меру риска, равную 10. Проведя теперь декомпозицию портфеля, получим:

A = 3S20,10 + S30,20 + S30,50 + S40,50 - 2B20 - 4B40, что дает значение маржи, равное 40, совпадающее с результатом графического анализа.

–  –  –

задает когерентную меру риска тогда и только тогда, когда Y неотрицательна на стандартных рисках, при этом rY является наибольшей когерентной мерой, меньшей Y на Ф.

Замечание. Немодельной мере риска можно сопоставить сценарную меру. В [1] показано, что для когерентной меры риска rY множество вероятностных мер S Y := {P | "X G : E P [- X ] Y ( X )} является непустым и определяемая им мера риска r ( X ) = sup{E P [- X ] P S Y } равна rY.

2. Задача распределения рискового капитала

2.1. Постановка задачи Мера риска, определенная в предыдущем разделе, определяет величину капитала, служащего в качестве резерва на случай возможных потерь. Эта величина, рассчитанная для всей организации, называется рисковым капиталом. Как и любое резервирование, это ведет к затратам на его поддержание и не приносит дохода. Задача распределения рискового капитала на интуитивном уровне состоит в следующем: распределить величину рискового капитала по составляющим организации (подразделениям) так, чтобы сумма составляющих в точности равнялась рисковому капиталу, и в то же время, чтобы это распределение было «справедливым», т.е. адекватно отражало вклад данного подразделения в общий риск.

Математически это можно сформулировать следующим образом.

Пусть X = X i, где X – риск портфеля организации, Xi – iN риск портфеля i-го подразделения, N – множество подразделений. Обозначим K r ( X ) – общий рисковый капитал, K = k i. Остальные условия распределения капитала будут iN сформулированы ниже с использованием терминологии кооперативной теории игр.

Необходимо также заметить, что даже если резервирование рискового капитала происходит централизованно, т.е.

подразделения не несут прямых затрат, задача распределения остается актуальной, например, для оценки эффективности деятельности подразделений с учетом риска. Одна из таких оценок называется доходность, скорректированная на риск (существует методология RAROC – Risk Adjusted Return on

Capital), где доходность рассчитывается следующим образом:

r( X ) RAROC =, r(X ) где r ( X ) – чистый доход, а r ( X ) – мера риска.

Кратко остановимся на распространенных методах распределения рискового капитала.

1. «Наивный» подход заключается в распределении, пропорциональном индивидуальным рискам:

r(X i ) ki = r( X ).

r(X j ) jN При данном подходе не учитывается взаимосвязь между составляющими риска. В частности, со статистической точки зрения это означает, что индивидуальные риски некоррелированны. Этот недостаток учтен в следующем методе.

2. Для статистических мер риска, например VaR, используется следующий метод распределения:

cov( X i, X ) ki = K.

s 2 (X ) Далее этот частный случай будет исследован в рамках общего подхода.

2.2. Кооперативная теория игр и ядро Распределение рискового капитала есть не что иное, как распределение затрат, поэтому кооперативная теория игр как нельзя лучше подходит и для описания принципов распределения, и для получения конечных результатов. Вначале сформулируем задачу распределения в терминах кооперативной теории.

Пусть N = {1,.., n} – конечное множество игроков, в нашем случае – подразделений.

Функция затрат определена на каждом подмножестве S N (называемом также коалицией) следующим образом:

c( S ) := r X i. (2.1) iS Далее мы будем рассматривать только когерентные меры риска, таким образом, как несложно показать, функция затрат субаддитивна: c(S U T ) c( S ) + c(T ) "S, T N. Таким образом, задача распределения есть кооперативная игра (N,c).

Наиболее общие требования к распределению затрат приводят к центральному понятию кооперативной теории – понятию ядра игры.

<

–  –  –

Теперь можно легко получить главный результат этого раздела.

Утверждение 1. В игре с функцией затрат, определяемой когерентной мерой риска, ядро непусто.

–  –  –

Замечание. Игра, определяемая когерентной мерой риска, как будет показано в разд. 3.3, является выпуклой только в случае линейных мер риска. Линейность влечет отсутствие эффектов диверсификации рисков, поэтому такие меры мы рассматривать не будем, и, соответственно, рассматриваемые игры не будут являться выпуклыми.

Пример 2.1.

Ядро в игре трех агентов Рассмотрим портфель колл-опционов A из примера 1.1.

Агентам при этом соответствуют портфели, вместе составляющие суммарный портфель A:

A = A1 + A2 + A3, r ( A) = 40. Распределение рискового капитала обозначим через x = (x1, x2, x3 ). Ядро определяется следующей системой:

x1 + x2 + x3 = 40, x1 c( A1 ), x 2 c( A2 ), x3 c( A3 ), x1 + x2 c( A1 + A2 ), x1 + x3 c( A1 + A3 ), x2 + x3 c( A2 + A3 ).

Чтобы наглядно представить решение системы, произведем замену переменных. Определим экономию затрат агента

i как yi = c( Ai ) - xi. Получим новую систему:

y1 + y 2 + y3 = 10, yi 0, i = 1,2,3, y1 + y 2 a 3, y1 + y3 a 2, y 2 + y3 a 1.

На рис.2 изображен симплекс, внутри которого три дополнительных ограничения выделят треугольник (закрашенная область) – ядро игры.

–  –  –

В примере 2.1 вектор Шепли, как нетрудно подсчитать по формуле (2.5), равен s = (15, 20, 5) и находится точно в центре ядра. Однако вектор Шепли может не принадлежать ядру. Известное достаточное условие принадлежности вектора Шепли ядру – выпуклость игры – не проходит, так как рассматриваемые игры не всегда являются выпуклыми. Приведем пример, когда вектор Шепли не принадлежит ядру.

Пример 2.2.

Рассмотрим следующее деление портфеля из примера 1.1.

C10 C20 C30 C40 C50 A1 -1 0 6 -6 1 A2 0 -2 2 0 0 A3 0 0 0 -1 1

Затраты агентов и коалиций будут соответственно:

c(A1) = 20, c(A2) = 20, c(A3)=10, c(A1+ A2) = 40, c(A1+ A3) = 20, c(A2+ A3) = 30. Ядро представляет собой вершину треугольника y3 = 10, что соответствует распределению затрат x = (30, 10, 0).

Вектор Шепли равен s = (26 2 3, 6 2 3, 6 2 3 ) и лежит вне ядра.

Теперь можно подвести итоги этого раздела.

При всей привлекательности вектора Шепли тем не менее возникают следующие проблемы:

1. Вектор Шепли может не принадлежать ядру.

2. Вычисление вектора Шепли является сложной с вычислительной точки зрения задачей, так как необходимо посчитать меру риска для 2n коалиций, притом что расчет самой меры риска может быть сложной задачей (в приведенных выше примерах – решение задачи линейного программирования).

3. Агенты в данном контексте рассматриваются как неделимые, в действительности им соответствуют портфели, которые являются делимыми. Таким образом, могут существовать коалиции из частей отдельных портфелей, которые могут отделиться. Также группа подразделений может перераспределить между собой свои портфели, что может привести к отделению данной коалиции.

Эти аспекты и в особенности последний естественным образом приводя нас к развитию классической кооперативной теории – неатомическим играм.

3. Распределение капитала в неатомической кооперативной теории

3.1. Определение игры и значения в неатомической теории Вначале приведем терминологию и несколько определений согласно [3]. Измеримым пространством называется пара (I,F), где I – некоторое множество, F - s-алгебра его подмножеств. Элементы s-алгебры F называются измеримыми множествами. Функция f, отображающая измеримое пространство (I,F) в другое измеримое пространство (I,D), называется измеримой, если T D f -1 (T ) D. Два измеримых пространства называются изоморфными, если существует взаимно однозначная измеримая в обоих направлениях функция (изоморфизм), отображающая одно пространство на другое.

Под словом «мера» будем понимать счетно-аддитивную скалярную меру произвольного знака. Мера x на измеримом пространстве (I,F) называется неатомической, если "S F, x ( S ) 0 $T S : x ( S ) x (T ) 0. Множество неатомических мер будем обозначать NA. Векторнозначной мерой называется набор m = ( m1,.., m n ) мер m i, где n конечно. Если все меры m i неатомические, то вектор-мера m также называется неатомической.

Определение 3.1. Пусть (I,F) – измеримое пространство. Функцией множества называется вещественнозначная функция c, определенная на F, для которой c() = 0.

Будем интерпретировать функцию множества как игру, I – как пространство игроков, а элементы F – как коалиции.

Число c(S) при этом интерпретируется как затраты коалиции S, что является естественным обобщением игры с конечным числом игроков в форме характеристической функции.

Носителем игры называется такая коалиция I, c( S ) = c( S I I ) "S F. Коалиция, являющаяся дополнением носителя, называется нулевой. Атомом функции множества c называется такая ненулевая коалиция S, что для любой коалиции T S либо T, либо S\T является нулевой коалицией. Если игра c не имеет атомов, то она называется неатомической.

Функция множества c называется монотонной, если S T c( S ) c(T ). Разность двух монотонных функций множества называется функцией ограниченной вариации. Семейство функций ограниченной вариации образует линейное пространство, которое будем обозначать BV. Примером функции, принадлежащей BV, может служить любая функция множества вида c( S ) = f ( m ( S )) f o m ( S ), где m - конечная неотрицательная мера, f – функция ограниченной вариации, определенная на [0, m ( I )] и для которой f(0) = 0. Подпространство BV, состоящее из конечноаддитивных функций, будем обозначать через FA.

Дадим теперь интерпретацию некоторых приведенных выше понятий применительно к нашим задачам. В нашем случае множество игроков I есть совокупный портфель, т.е. если портфель состоит из n позиций: A = ( A1,.., An ) - точка в nмерном пространстве, то множество игроков есть прямое проn изведение I = [0, Ai ].

Вектор-мера m есть не что иное, как i =1 m ( S ) = ( m 1 ( S ),.., m n ( S )) = величины позиций коалиции:

( a1 S ),.., a n ) ), ( (S = m (I ) = A.

Пусть Q – произвольное подпространство BV. Множество всех монотонных функций из Q будем обозначать через Q +. Отображение Q в BV называется положительным, если оно отображает Q + в BV +, т.е. если переводит монотонные функции в монотонные.

Пусть G – группа автоморфизмов основного пространства (I,F). Поставим в соответствие каждому Q G линейное отображение Q* пространства BV на себя, положив (Q*c )(S ) = c(QS ).

Подпространство Q называется симметричным, если Q*Q = Q "Q G.

Теперь можно определить понятие значения.

Определение 3.2. Пусть Q – симметричное подпространство BV.

Значением на Q называется такое положительное линейное отображение j : Q ® FA, что "Q G, c Q :

1. jQ * = Q *j (симметрия), 2. (jc )(I ) = c(I ) (эффективность).

Функцию j c будем называть значением игры, а (jc ) (S ) значением коалиции S.

3.2. Формулировка основных результатов Аумана-Шепли Далее будем рассматривать функции множества, определенные с помощью неатомических мер, в особенности функции, порожденные всеми степенями мер из NA+. Пространство функций такого вида будем обозначать через pNA. В [3] показано, что функции вида f o m, где m = ( m1,.., m n ) - неатомическая конечномерная вектор-мера, а f – достаточно гладкая вещественнозначная функция и выполняется условие f(0) = 0, принадлежат pNA.

Для формулировки основного результата осталось ввести несколько определений. Пусть X – выпуклое подмножество евклидова пространства E n. Вектор z называется Xдопустимым, если для некоторых x, y X имеет место z = x - y. Пусть f – непрерывная вещественнозначная функция на X, а вектор z является X-допустимым. Будем говорить, что функция F непрерывно дифференцируема на X по направлеdf ( x + q z ) нию z, если существует производная, непрерывная dq в каждой точке x из относительной внутренности X. Будем называть ее производной от f по направлению z и обозначать fz.

Теорема 3.1.

(Р. Аумана, Л. Шепли). На pNA определено единственное значение j, для которого j = 1. Кроме того, пусть m - вектор, компоненты которого суть меры из NA, а f – функция, непрерывно дифференцируемая на области значений m и удовлетворяющая условию f(0) = 0. Тогда f o m pNA и j ( f o m )(S ) = f m ( S ) (tm ( I ) )dt, (3.1) где f m (S ) - производная от f в направлении m (S ).

–  –  –

Теорема 3.2.

(Р. Ауман, Л. Шепли) Пусть c – субаддитивная функция множества из pNA, являющаяся однородной степени 1. Тогда ядро состоит из единственного элемента, совпадающего со значением игры c.

Таким образом, из этой теоремы мы получаем основной результат этого раздела.

Утверждение 3.1. Задача распределения рискового капитала, определяемого когерентной мерой риска, имеет решение, и притом единственное.

–  –  –

Пример 3.1.

Вектор Аумана-Шепли для примеров 2.1 и 2.2.

Из примера 1.1 известно, что портфель представляется как A = 3n20,10 + n30,20 + n30,50 + n40,50 - 2B20 - 4B40.

Таким образом, z1 = n20,10, z2 = n30,20, z3 = n30,50, z4 = n40,50, z5 =B20, z6 = B40.

f z1 = f z2 10, f z j 0, j = 3,4,5,6.

Разложив портфели из примера 2.1 по z, получим:

m ( A1 ) = z1 + z 2 + 13 6 z 3 - 1 3 z 4 + 17 6 z 6 и, следовательно, j ( A1 ) = 10 + 10 = 20.

Проделав аналогичные действия для A2 и A3, получим j ( A2 ) = 20, j ( A3 ) = 0.

Нетрудно проверить, что вектор Аумана-Шепли принадлежит ядру дискретной игры. Для примера 2.2 вектор АуманаШепли получается равным j AS = (30, 10, 0) и также принадлежит дискретному ядру (даже несмотря на то, что оно состоит из единственного элемента).

Формулы (3.1) – (3.2а) также показывают дополнительный аспект: значение игры полностью определяется поведением функции f вблизи диагонали [0, m ( I )].

–  –  –

Теперь перейдем к рассмотрению конкретной меры риска - VaR.

Текущая стоимость портфеля в момент времени t есть функция от величин n позиций портфеля:

P(t ) = P(a1,.., an ). Согласно определению (1.2) r ( X ) VaRa := inf {u P [ DP -u ] a }, где DP = P(t + 1) - P(t ), a - уровень достоверности.

Рассмотрим для простоты случай, когда случайная величина DP имеет непрерывное распределение.

–  –  –

где qj - портфель j-го подразделения, то в силу (3.3а) распределение рискового капитала будет следующим:

k j = v j VaR, (3.7) что соответствует используемой в настоящее время концепции «компонентного VaR» (см., например, [5]).

Докажем теперь сформулированное в разд. 2.2 замечание, что выпуклость игры влечет линейность меры риска. Условие выпуклости игры, или комплементарности затрат, для игры с функцией затрат c(q)=c(q1,…,qr) эквивалентно условию c(a + x) - c(a ) c(b + x) - c(b) (см. [2]), что означает, что маргинальные затраты являются невозрастающей функцией, а, следовательно, функция затрат c(q) является вогнутой. С другой стороны, свойства субаддитивности и положительной однородности влекут выпуклость функции затрат, так как c((1 - l )a + l b) (1 - l )c( a ) + l c(b). Таким образом, функция затрат должна быть линейной.

Пример 3.2.

Расчет распределения для меры риска VaR.

–  –  –

«Наивное» распределение не удовлетворяет принципу отделения: k1+ k2 = 4/3 c(A1+ A2) = 1. Вектор Шепли также не принадлежит ядру, поскольку s 1 + s 2 c( A1 + A2 ) = 1.

Заключение В работе обоснована следующая постановка задачи распределения рискового капитала, а именно: 1) задача распределения формулируется в терминах кооперативной теории игр; 2) в качестве мер риска рассматривается класс когерентных мер риска; 3) в качестве инструмента для решения задачи используются методы неатомической кооперативной теории.

При этом имеют место следующие факты:

· задача распределения рискового капитала имеет, и притом единственное решение – вектор Аумана-Шепли, · вектор Аумана-Шепли находится в явном виде для наиболее широко распространенных мер риска – Value at Risk, · вектор Аумана-Шепли может использоваться как селектор ядра в дискретной игре.

Литература

1. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk. // Mathematical Finance. 1999. Vol.9. No.3.

P. 203-228.

2. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.

3. Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. М.:

Мир, 1977.

4. Delbaen F., Denault M. Coherent Allocation of Risk Capital. // Zurich: E.T.H., 2000.

5. Garman M. Taking VaR to Pieces. // Risk Magazine. 1997.

Vol.10. No.10. P.38-39.

–  –  –

ВВЕДЕНИЕ

1. РИСК И МЕРЫ РИСКА

1.1. МЕРА РИСКА

1.2. СЦЕНАРНЫЕ МЕРЫ РИСКА

1.3. МЕРЫ РИСКА VALUE AT RISK (VAR)

1.4. НЕМОДЕЛЬНЫЕ МЕРЫ РИСКА

2. ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РИСКОВОГО КАПИТАЛА.....12

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.2. КООПЕРАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИГР И ЯДРО

2.3. ВЕКТОР ШЕПЛИ КАК ЗНАЧЕНИЕ ИГРЫ

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛА В НЕАТОМИЧЕСКОЙ

КООПЕРАТИВНОЙ ТЕОРИИ

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИГРЫ И ЗНАЧЕНИЯ В НЕАТОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.21

3.2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

АУМАНА-ШЕПЛИ

3.3. ПРИМЕНЕНИЕ К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ РИСКОВОГО

КАПИТАЛА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА



Похожие работы:

«А. И. АЛЕКСЕЕВ. ПЕРВАЯ РЕДАКЦИЯ ВКЛАДНОЙ КНИГИ КИРИЛЛОВА БЕЛОЗЕРСКОГО МОНАСТЫРЯ А. И. Алексеев* Первая редакция вкладной книги Кириллова Белозерского монастыря (1560 е гг.) Вкладные книги русских монастырей заслуженно пользуются репута цией ценных и информативных источников для изучения различных сторон жизни Средневековой Руси 1. Тра...»

«К.А. Кирьянов, В.С. Сизиков УДК 621.397 ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИСКАЖЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА C/C++ В СИГНАЛЬНЫХ МИКРОПРОЦЕССОРАХ ФИРМЫ TEXAS INSTRUMENTS К.А. Кирьянов, В.С. Сизиков Рассматривается ин...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО А. Ю. Щеглов МОДЕЛИ, МЕТОДЫ И СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ ДОСТУПА К РЕСУРСАМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Учебное пособие Санкт-Петербург Щеглов А.Ю. Модели, методы и средства контроля доступа к ресурсам вычислительных систем. Учебное пос...»

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ 2016, Т. 158, кн. 2 ISSN 1815-6088 (Print) С. 243–261 ISSN 2500-2198 (Online) УДК 519.63 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАД...»

«TNC 320 Руководствопользователя Программированиециклов Программноеобеспечение NC 771851-01 771855-01 Русский (ru) 11/2014 Основные положения Основные положения О данном руководстве О данном руководстве Ниже приведен список символов-указаний, используемых в данном руководстве Этот символ указывает на то, что для...»

«Анализ мотивации, целей и подходов проекта унификации языков на правилах Л.А.Калиниченко1, С.А.Ступников1 Институт проблем информатики РАН Россия, г. Москва, 117333, ул. Вавилова, 44/2 {leonidk, ssa}@ipi.ac.ru Аннотация. Работа посвящена анализу стандарта W3C RIF (Rule Interchange Format), ориентированного на обеспече...»

«РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ АНАЛИЗА ЭФФЕКТА ЛОЖНОГО ОКОНТУРИВАНИЯ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ м.н.с. Насонов А.В.1, проф. Крылов А.С.1, асп. Черноморец А.А.1, проф. Динг Йонг2 Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Лаборатория математ...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Вычислительные методы в дискретной математике №4(22) УДК 519.863 АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ВЕБЕРА ДЛЯ ПРОСТОГО ЦИКЛА Р. Э. Шангин Южно-Уральский государственный университет, г. Че...»





















 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.