WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ЦИКЛ* ЕН — Общие математические и естественнонаучные дисциплины НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ ...»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный университет» (НГУ)

Факультет информационных технологий

Кафедра общей информатики

ПРОГРАММА

ДИСЦИПЛИНЫ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

ЦИКЛ* ЕН — Общие математические и естественнонаучные дисциплины

НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ 230100.62 «ИНФОРМАТИКА И

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА»

Автор: Чуркин Валерий Авдеевич, доцент, к.ф.-м.н.

(ФИО, ученая степень, ученое звание) Новосибирск 2009 * Наименование цикла дисциплин в соответствии с ГОС ВПО Программа дисциплины «Алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел»

составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра по циклу «Общих математических и естественнонаучных дисциплин» Федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению 230100.62 «Информатика и вычислительная техника».

1. Цели и задачи дисциплины (курса) Целью освоения дисциплины (курса) «Алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел»

является овладение студентами методами и основными фактами аналитической геометрии, линейной алгебры и теории чисел, образующими базис для успешного изучения других математических дисциплин, механики, физики, программирования и их приложений к практике.

Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:

Задача 1 семестра --- овладение основами аналитической геометрии и элементами абстрактной алгебры. На базе школьной геометрии должен быть изучен язык геометрических векторов, декартовы координаты, скалярное произведение, векторное и смешанное произведение, определители малых порядков, уравнения прямых и плоскостей, эллипс, гипербола, парабола, их замечательные свойства и классификация плоских кривых второго порядка, поверхности второго порядка в евклидовом пространстве и их замечательные свойства. Далее выстраивается базис линейной алгебры, обобщающей аналитическую геометрию (группы, кольца, поля, в частности, поля вычетов по простому модулю, векторные пространства, алгебры, алгебра матриц, поле комплексных чисел). Далее разбирается метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, изучается определитель n-го порядка, методы его вычисления, применение к обращению матриц и решению крамеровых систем, разбираются теоремы Фредгольма.

Задача 2-го семестра --- овладение основами линейной алгебры. Сначала изучаются элементы алгебры многочленов (алгоритм Евклида и НОД, корни и значения многочленов, однозначность разложения многочленов над полем на множители, разложение комплексных и вещественных многоченов на линейные и квадратичные множители). Затем --- ядро линейной алгебры: линейные операторы векторных пространств и связь с матрицами, теория собственных векторов и собственных значений, жорданова форма и функции от матриц, линейные операторы евклидовых и эрмитовых пространств (самосопряженные, унитарные, ортогональные), норма линейного отображения, сингулярное и полярное разложение и теория билинейных и квадратичных форм. Как применение --- классификация поверхностей второго порядка.

Задача 3-го семестра --- овладение элементами комбинаторики, основами теории чисел и теории конечных полей.

Изучаются группы перестановок и элементы теории групп:

теорема Лагранжа, циклические группы, действие на множестве, орбиты и стабилизаторы, теорема о мощности орбиты и о числе орбит для действия конечной группы, конечно порожденные абелевы группы. Далее --- основы теории чисел: оценка числа шагов в алгоритме Евклида и линейные диофантовы уравнения, разложение рациональных и иррациональных чисел в непрерывную дробь, приближение подходящими дробями, модулярная арифметика, арифметические функции и решение некоторых нелинейных диофантовых уравнений (Эйлера, Пелля). Наконец --- элементы теории конечных полей:

построение, порядок, единственность, решетка подполей, как применение --- вывод квадратичного закона взаимности Гаусса.

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

Иметь представление об основах аналитической геометрии, линейной алгебры и теории чисел;

Знать основные определения и теоремы указанного курса;

Уметь решать стандартные задачи аналитической геометрии, решать системы линейных уравнений, задачу на собственные векторы и собственные значения, задачу приведения матрицы к жордановой форме, задачу приведения квадратичной формы и уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, работать с группами перестановок, работать в модулярной арифметике, работать с конечными полями.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы

–  –  –

4.3. Содержание разделов и тем курса.

1семестр Основы аналитической геометрии Геометрические векторы: определение, операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число, свойства операций. Линейные комбинации геометрических векторов, линейная зависимость и независимость, базис и единственность разложение вектора по базису, преобразование координат при сложении векторов и умножении на число.

Декартова система координат: координаты точки и вектора, заданного двумя точками, деление отрезка в данном отношении. Полярная система координат на плоскости, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.

Скалярное произведение геометрических векторов: определение и основные свойства, скалярное произведение линейных комбинаций, формула скалярного произведения в координатах в ортонормированном базисе, выражение длины вектора и угла между ненулевыми векторами через скалярное произведение, формулы ортогональной проекции вектора на направление ненулевого вектора и разложения вектора по ортогональному базису.

Векторное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, векторное произведение линейных комбинаций, формула векторного произведения в правом ортонормированном базисе, ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и определитель второго порядка.

Смешанное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, связь с ориентируемым объемом параллелепипеда и выражение через координаты в правом ортонормиро ванном базисе в виде определителя третьего порядка.

Дополнительные свойства векторного произведения: двойное векторное произведение, тождество Якоби, скалярное произведение двух векторных произведений, формула косинусов сферической геометрии, векторное произведение и формулы Крамера.

Преобразование координат вектора и точки при замене базиса и декартовой системы координат, вид параллельных переносов, отражений и поворотов плоскости в координатах в подходящей декартовой системе координат.

Уравнения прямой на плоскости: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по двум точкам, через определитель.

Уравнения плоскости в пространстве: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по трем точкам, через определитель. Уравнения прямой в пространстве: задание системой двух линейных уравнений, параметрические уравнения, каноническое, по двум точкам. Формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве, от точки до прямой в пространстве, между параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве.

Вычисление углов между двумя ненулевыми векторами, между прямыми на плоскости, между плоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью в пространстве.

Эллипс, гипербола и парабола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка на плоскости каноническому виду.

Эллипсоид: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, теорема о круговых сечениях. Конус: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о плоских сечениях кругового конуса. Однополостный и двуполостный гиперболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих. Эллиптический и гиперболический параболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих. Классификация и вид цилиндрических поверхностей.

Введение в алгебру, системы линейных уравнений, матрицы и определители Алгебраические операции, алгебраические структуры, изоморфизм.

Абелевы группы, кольца, поля: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом.

Характеристика поля. Кольца вычетов и поля вычетов по модулю n.

Векторные пространства: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом, базисы и теорема об изоморфизме координатным пространствам над полем.

Алгебры: аксиоматика, примеры, теорема о задании алгебр произведениями базисных элементов, поле комплексных чисел. Алгебра матриц.

Системы линейных уравнений и метод Гаусса: приведение матриц к ступенчатому и разрешенному виду, критерий совместности и общее решение совместной системы линейных уравнений, однородные системы и фундаментальные системы решений.

Теорема о размерности векторного пространства. Подпространства и ранг системы векторов, теорема о базисе и размерности подпространств.

Перестановки и определитель матрицы как функция системы ее строк, теорема о существовании и единственности. Дополнительные свойства определителя: поведение при элементарных преобразованиях системы строк, определитель треугольной матрицы, транспонированной матрицы, полураспавшейся матрицы, произведения матриц.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу), формула для обратной матрицы, формулы Крамера в общем случае. Теорема о ранге для матриц. Задание подпространств и линейных многообразий системами линейных уравнений.

Сумма и пересечение подпространств: определение и теорема о размерности суммы; прямые суммы: определение и критерий на языке пересечений. Вычисление базисов суммы и пересечения подпространств и линейных многообразий.

Теоремы Фредгольма.

Темы практических занятий (1-й семестр)

1. Геометрические векторы – линейные комбинации, зависимость, деление отрезка в данном отношении.

2. Скалярное произведение геометрических векторов.

3. Векторное произведение геометрических векторов.

4. Смешанное произведение и ориентированный объем.

5. Уравнения прямых и плоскостей, расстояния и углы.

6. Эллипс.

7. Гипербола.

8. Парабола и приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

9. Контрольная работа. Коллоквиум.

10. Свойства поверхностей второго порядка в каноническом виде.

11. Свойства поверхностей второго порядка в каноническом виде.

12. Аксиоматика групп, колец, полей, кольца вычетов.

13. Аксиоматика векторных пространств, алгебры и поле комплексных чисел.

14. Алгебра матриц.

15. Системы линейных уравнений и подпространства.

16. Определители и их свойства.

17. Определители и ранг матрицы.

18. Контрольная работа. Зачет.

2 семестр Алгебра многочленов Алгебра многочленов: определение и свойства операций, деление с остатком.

Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа. Кратные корни и производная, формула Тейлора для многочлена. Корни комплексных многочленов, разложение комплексных и вещественных многочленов на множители.

Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида, критерий разрешимости линейного диофантова уравнения в алгебре многочленов. Взаимно простые многочлены.

Однозначность разложения на множители в алгебре многочленов.

Линейные отображения и операторы конечномерных векторных пространств Линейные отображения векторных пространств: задание образом базиса и матрицей, координаты образа вектора и связь между матрицами отображения в разных базисах. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.

Образ и ядро линейного отображения, невырожденные линейные операторы.

Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного оператора. Диагонализируемые операторы — равносильные определения.

Инвариантные подпространства. Нильпотентные операторы: определение и примеры, основная теорема, спектр и следствие для матриц.

Теорема Гамильтона–Кэли. Ядерно-образное разложение пространства относительно линейного оператора. Корневые векторы, корневые подпространства и корневое разложение пространства относительно линейного оператора. Матрицы жорданова вида и теоремаЖордана, критерий подобия для матриц. Вычисление многочленов от матриц, функций от матриц и рядов от матриц.

Линейные отображения еклидовых и эрмитовых векторных пространств Евклидовы и эрмитовы пространства: аксиоматика, примеры, длина вектора и угол между векторами — неравенство Коши–Буняковского, неравенство треугольника,тождество параллелограмма, теорема Пифагора.

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта и изоморфизмы евклидовых (эрмитовых) пространств. Ортогональные разложения евклидовых (эрмитовых) пространств, евклидова метрика и расстояние от точки до подпространства. Определитель Грама и линейная зависимость системы векторов евклидова (эрмитова) пространства, определитель Грама и объем параллелепипеда, построенного по системе векторов, следствия, определитель и объем для n векторов в n-мерном пространстве.

Сопряженность линейных отображений евклидовых (эрмитовых) пространств относительно скалярного произведения: определение, существование и единственность, связь матриц.

Самосопряженные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

Ортогональные и унитарные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

Сингулярные числа, сингулярное и полярное разложение.

Сингулярные числа и норма линейного отображения.

Билинейные и квадратичные формы, поверхности второго порядка Билинейные формы: определение, их матрицы и связь между матрицами в разных базисах, инварианты, вырожденность, разложение в сумму симметричной и кососимметричной части, квадратичные формы и их матрицы.

Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду над полем характеристики, не равной двум.

Вещественные квадратичные формы: инвариантность сигнатуры, теорема Якоби, критерий Сильвестра положительной определенности формы. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (косоугольной).

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей прямоугольной декартовой системе координат (центральный и нецентральный случаи).

Темы практических занятий (2-й семестр)

1. Многочлены: деление с остатком, корни и значения (схема Горнера), формула Тейлора, кратные корни и производная, формулы Виета, интерполяция.

2. Алгоритм Евклида и НОД, решение линейного диофантова уравнения, разложение на простейшие дроби.

3. Линейные отображения, их матрицы, действие в координатах, связь в разных базисах, ядро и образ.

4. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен.

5. Нильпотентные операторы.

6. Жорданова форма.

7. Функции от матриц.

8. Контрольная работа.

9. Евклидовы и эрмитовы пространства, расстояния, углы.

10. Сопряженные операторы и отображения, самосопряженные операторы.

11. Ортогональные и унитарные операторы.

12. Норма отображения, сингулярное и полярное разложение.

13. Контрольная работа.

14. Канонизация квадратичных и билинейных форм.

15. Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду.

16. Потоковая контрольная работа.

3 семестр Элементы комбинаторики, группы преобразований Группы преобразований: определение, структура группы, примеры — все преобразования, невы рожденные, унимодулярные, аффинные, ортогональные, унитарные, изометрические.

Группы подстановок n-элементного множества: определение умножения, разложение на циклы, критерий сопряженности. Подстановки: знак и четность подстановки, разложение на транспозиции и декремент, подгруппа четных подстановок.

Подгруппы: определение, порождающие множества, примеры. Разбиение группы на смежные классы относительно подгруппы, индекс подгруппы и теорема Лагранжа.

Порядок элемента группы и циклические группы: лемма о свойствах порядка, описание циклических групп, группы простого порядка, порядок конечной группы и порядок ее элемента, малая теорема Ферма, функция Эйлера и теорема Эйлера.

Действие группы на множестве: определение, примеры, орбиты, стабилизаторы, теорема о мощности орбиты. Теоремы Бернсайда и Пойа о числе орбит.

Гомоморфизмы групп, нормальные подгруппы и фактор-группы, теорема о факторгруппе по ядру гомоморфизма. Прямые произведения и прямые суммы групп:

определение, примеры, критерий разложимости. Свободные абелевы группы конечного ранга: определение, связь между базисами, представление конечно порожденных абелевых групп в виде фактор-группы свободной абелевой группы.

Приведение целочисленных матриц к каноническому виду, построение согласованных базисов свободной абелевой группы конечного ранга и ее подгруппы, разложение конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических.

Конечно порожденные абелевы группы: единственность разложения в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп.

Элементы теории чисел Анализ алгоритма Евклида в кольце целых чисел: последовательность Фибоначчи и теорема Ламе о числе делений в алгоритме Евклида.

Рациональные числа и конечные непрерывные дроби: определение, свойства числителей и знаменателей подходящих дробей, следствия о несократимости и о решении линейных диофантовых уравнений. Иррациональные числа и бесконечные непрерывные дроби: теорема о существовании и единственности представления иррационального числа в виде бесконечной непрерывной дроби, теорема о наилучших приближениях.

Важнейшие функции теории чисел: целая и дробная часть вещественного числа, их свойства, кратность простого числа в факториале натурального, число делителей и сумма делителей натурального числа, их мультипликативность. Функция Мёбиуса, её мультипликативность, формула обращения. Функция Эйлера: формула Гаусса, мультипликативность, вычисление через каноническое разложение, эвристическое доказательство теоремы Дирихле о вероятности взаимной простоты случайно выбранной пары натуральных чисел.

Структура кольца вычетов по модулю m: определение прямой суммы колец и китайская теорема об остатках, разложение кольца вычетов в прямую сумму примарных колец. Структура мультипли кативной группы кольца вычетов по модулю m, цикличность групп $Z*_p$, дискретный логарифм или индекс.

Евклидовы кольца и евклидовость кольца целых гауссовых чисел. Теорема Эйлера о представимости натурального числа в виде суммы двух вадратов. Уравнение Пелля — бесконечность и групповая структура на множестве решений (в предположении существования нетривиального решения). Уравнение Пелля — существование нетривиального решения.

Конечные поля и многочлены Гомоморфизмы колец, идеалы и фактор-кольца. Теорема Кронеккера о существовании корня неразложимого многочлена в подходящем расширении поля. Поле разложения для многочлена над данным полем.

Теорема о порядке, существовании и единственности конечных полей. Решетка подполей конечного поля.

Число нормированных неразложимых многочленов данной степени над полем вычетов. Алгоритм Берлекэмпа разложения многочлена на множители над конечным полем.

Квадратичные вычеты и невычеты, их число, символ Лежандра и формула Эйлера.

Закон взаимности Гаусса для нечетных простых чисел. Закон взаимности для двойки и нечетного простого числа. Символ Якоби.

Темы практических занятий (3-й семестр)

1. Группы подстановок и группы преобразований, системы порождающих и циклические группы.

2. Действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, разбиение на смежные классы.

3. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и фактор-группы.

4. Свободные и конечно порожденные абелевы группы.

5. Алгоритм Евклида в кольце целых чисел, НОД и НОК, конечные непрерывные дроби и решение линейных диофантовых уравнений.

6. Простые числа и основная теорема арифметики, теоретико-числовые функции.

7. Структура кольца вычетов (китайская теорема об остатках), быстрое сложение и умножение натуральных чисел.

8. Контрольная работа. Коллоквиум.

9. Рациональные числа и непрерывные дроби. Решение линейных дифантовых уравнений.

10. Иррациональные числа и бесконечные непрерывные дроби.

11. Китайская теорема об остатках и модулярная арифметика.

12. Первообразные корни и дискретный логарифм.

13. Представление натурального числа в виде суммы двух квадратов.

14. Уравнение Пелля.

15. Гомоморфизмы колец, идеалы и фактор-кольца по идеалу.

16. Неразложимые многочлены над конечными полями и построение конечных полей.

17. Квадратичные вычеты и закон взаимности. Символ Якоби. Решение квадратичных уравнений по простому молулю.

18. Контрольная работа.

4.4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

1. Дайте определение полярной системы координат на плоскости. Выведите формулы преобразования декартовой системы в полярную.

2. Докажите теорему Безу.

4.5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ.

Не предусмотрено.

5. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (курса)

5.1. Полный список вопросов к экзамену по всему курсу.

1-й семестр

1. Геометрические векторы: определение, операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число, свойства операций.

2. Линейные комбинации геометрических векторов, линейная зависимость и независимость, базис и единственность разложение вектора по базису, преобразование координат при сложении векторов и умножении на число.

3. Декартова система координат: координаты точки и вектора, заданного двумя точками, деление отрезка в данном отношении.

4. Полярная система координат на плоскости, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.

5. Скалярное произведение геометрических векторов: определение и основные свойства, скалярное произведение линейных комбинаций, формула скалярного произведения в координатах в ортонормированном базисе, выражение длины вектора и угла между ненулевыми векторами через скалярное произведение, формулы ортогональной проекции вектора на направление ненулевого вектора и разложения вектора по ортогональному базису.

6. Векторное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, векторное произведение линейных комбинаций, формула векторного произведения в правом ортонормированном базисе, ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и определитель второго порядка.

7. Смешанное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, связь с ориентируемым объемом параллелепипеда и выражение через координаты в правом ортонормированном базисе в виде определителя третьего порядка.

8. Дополнительные свойства векторного произведения: двойное векторное произведение, тождество Якоби, скалярное произведение двух векторных произведений, формула косинусов сферической геометрии, векторное произведение и формулы Крамера.

9. Преобразование координат вектора и точки при замене базиса и декартовой системы координат, вид параллельных переносов, отражений и поворотов плоскости в координатах в подходящей декартовой системе координат.

10. Уравнения прямой на плоскости: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по двум точкам, через определитель.

11. Уравнения плоскости в пространстве: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по трем точкам, через определитель.

12. Уравнения прямой в пространстве: задание системой двух линейных уравнений, параметрические уравнения, каноническое, по двум точкам.

13. Формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве, от точки до прямой в пространстве, между параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве.

14. Вычисление углов между двумя ненулевыми векторами, между прямыми на плоскости, между плоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью в пространстве.

15. Эллипс: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

16. Гипербола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

17. Парабола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокально-директори- альное и оптическое свойства.

18. Приведение общего уравнения кривой второго порядка на плоскости каноническому виду.

19. Эллипсоид: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, теорема о круговых сечениях.

20. Конус: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о плоских сечениях кругового конуса.

21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих.

22. Эллиптический и гиперболический параболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих.

23. Классификация и вид цилиндрических поверхностей.

24. Алгебраические операции, алгебраические структуры, изоморфизм.

25. Абелевы группы, кольца, поля: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом.

26. Кольца вычетов и поля вычетов.

27. Векторные пространства: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом, базисы и теорема об изоморфизме координатным пространствам над полем.

28. Алгебры: аксиоматика, примеры, теорема о задании алгебр произведениями базисных элементов, поле комплексных чисел.

29. Алгебра матриц.

30. Системы линейных уравнений и метод Гаусса: приведение матриц к ступенчатому и разрешенному виду, критерий совместности и общее решение совместной системы линейных уравнений, однородные системы и фундаментальные системы решений.

31. Теорема о размерности векторного пространства. Подпространства и ранг системы векторов, теорема о линейной оболочке и размерности подпространств.

32. Сумма и пересечение подпространств: определение и теорема о размерности суммы; прямые суммы: определение и критерий на языке пересечений.

33. Перестановки и определитель матрицы как функция системы ее строк, теорема о существовании и единственности.

34. Дополнительные свойства определителя: поведение при элементарных преобразованиях системы строк, определитель треугольной матрицы, транспонированной матрицы, полураспавшейся матрицы, произведения матриц.

35. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу), формула для обратной матрицы, формулы Крамера в общем случае.

36. Теорема о ранге для матриц.

37. Задание подпространств и линейных многообразий системами линейных уравнений.

38. Вычисление базисов суммы и пересечения подпространств и линейных многообразий.

39. Альтернатива Фредгольма.

2 семестр

1. Алгебра многочленов: определение и свойства операций, деление с остатком.

2. Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа.

3. Кратные корни и производная, формула Тейлора для многочлена.

4. Корни комплексных многочленов, разложение комплексных и вещественных многочленов на множители.

5. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида, критерий разрешимости уравнения fu+gv=h в алгебре многочленов.

6. Взаимно простые многочлены и однозначность разложения на множители в алгебре многочленов.

7. Линейные отображения векторных пространств: задание образом базиса и матрицей, координаты образа вектора и связь между матрицами отображения в разных базисах.

8. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.

9. Образ и ядро линейного отображения, невырожденные линейные операторы.

10. Инвариантные подпространства.

11. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного оператора.

12. Диагонализируемые операторы --- равносильные определения.

13. Нильпотентные операторы: определение и примеры, основная теорема, спектр и следствие для матриц.

14. Корневые векторы, корневые подпространства, ядерно-образное и корневое разложение пространства относительно линейного оператора.

15. Матрицы жорданова вида и теорема Жордана, критерий подобия для матриц.

16. Вычисление многочленов от матриц, функций от матриц и рядов от матриц.

17. Евклидовы и эрмитовы пространства: аксиоматика, примеры, длина вектора и угол между векторами --- неравенство Коши--Буняковского, неравенство треугольника,тождество параллелограмма,теорема Пифагора.

18. Процесс ортогонализации Грама--Шмидта и изоморфизмы евклидовых (эрмитовых) пространств.

19. Ортогональные разложения евклидовых (эрмитовых) пространств, евклидова метрика и расстояние от точки до подпространства.

20. Определитель Грама и линейная зависимость системы векторов евклидова (эрмитова) пространства, определитель Грама и объем параллелепипеда, построенного по системе векторов, следствия, определитель и объем для n векторов в n-мерном пространстве.

21. Сопряженность линейных отображений евклидовых (эрмитовых) пространств относительно скалярного произведения: определение, существование и единственность, связь матриц.

22. Самосопряженные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

23. Ортогональные и унитарные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

24. Сингулярные числа, сингулярное и полярное разложение.

25. Сингулярные числа и норма отображения.

26. Билинейные формы: определение, их матрицы и связь между матрицами в разных базисах, инварианты, вырожденность, разложение в сумму симметричной и кососимметричной части, квадратичные формы и их матрицы.

27. Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду над полем характеристики, не равной двум.

28. Вещественные квадратичные формы: инвариантность сигнатуры, теорема Якоби, критерий Сильвестра положительной определенности формы.

29. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям.

30. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (косоугольной).

31. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей прямоугольной декартовой системе координат (центральный случай).

32. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (нецентральный случай).

3 семестр

1. Группы преобразований: определение, структура группы, примеры - все преобразования, невырожденные, унимодулярные, аффинные, ортогональные, унитарные, изометрические.

2. Группы подстановок $n$-элементного множества: определение умножения, разложение на циклы, критерий сопряженности, теорема Кэли о вложении конечных групп в группы подстановок.

3. Подстановки: декремент и разложение на транспозиции, знак и четность подстановки.

4. Подгруппы: определение, порождающие множества, примеры.

5. Разбиение группы на смежные классы относительно подгруппы, индекс подгруппы и теорема Лагранжа.

6. Порядок элемента группы и циклические группы: лемма о свойствах порядка, описание циклических групп, группы простого порядка, порядок конечной группы и порядок ее элемента, малая теорема Ферма, функция Эйлера и теорема Эйлера.

7. Действие группы на множестве: определение, примеры, орбиты, стабилизаторы, теорема о мощности орбиты.

8. Теоремы Бернсайда и Пойа о числе орбит.

9. Гомоморфизмы групп, нормальные подгруппы и фактор-группы, теорема о факторгруппе по ядру гомоморфизма.

10. Прямые произведения и прямые суммы групп: определение, примеры, критерий разложимости.

11. Свободные абелевы группы конечного ранга: определение, построение согласованных базисов группы и подгруппы.

12. Конечно порожденные абелевы группы: представление в виде фактор-группы свободной

13. абелевой группы, разложение в прямую сумму циклических групп (существование, единственность).

14. Анализ алгоритма Евклида в кольце целых чисел: последовательность Фибоначчи и теорема Ламе о числе делений в алгоритме Евклида.

15. Рациональные числа и конечные непрерывные дроби: определение, свойства числителей и знаменателей подходящих дробей, следствия о несократимости и о решении линейных диофантовых уравнений.

16. Иррациональные числа и бесконечные непрерывные дроби: теорема о существовании и единственности представления иррационального числа в виде бесконечной непрерывной дроби, теорема о наилучших приближениях.

17. Важнейшие функции теории чисел: целая и дробная часть вещественного числа, их свойства, кратность простого числа в факториале натурального, число делителей и сумма делителей натурального числа, их мультипликативность.

18. Функция Мёбиуса, её мультипликативность, формула обращения.

19. Функция Эйлера: формула Гаусса, мультипликативность, вычисление через каноническое разложение, эвристическое доказательство теоремы Дирихле о вероятности взаимной простоты случайно выбранной пары натуральных чисел.

20. Структура кольца вычетов по модулю $m$: определение прямой суммы колец и китайская теорема об остатках, разложение кольца вычетов в прямую сумму примарных колец.

21. Структура мультипликативной группы кольца вычетов по модулю $m$, цикличность групп $\mathbb{Z}_p^*$, дискретный логарифм или индекс.

22. Евклидовы кольца и евклидовость кольца целых гауссовых чисел.

23. Теорема Эйлера о представимости натурального числа в виде суммы двух вадратов.

24. Уравнение Пелля --- бесконечность и групповая структура на множестве решений (в предположении существования нетривиального решения).

25. Уравнение Пелля --- существование нетривиального решения.

26. Гомоморфизмы колец, идеалы и фактор-кольца.

27. Теорема Кронеккера о существовании корня неразложимого многочлена в подходящем расширении поля.

28. Поле разложения для многочлена над данным полем.

29. Теорема о порядке, существовании и единственности конечных полей.

30. Решетка подполей конечного поля.

31. Число нормированных неразложимых многочленов данной степени над полем вычетов.

32. Квадратичные вычеты и невычеты, их число, символ Лежандра и формула Эйлера.

33. Закон взаимности Гаусса.

5.2. Основная литература*.

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука, 2000.

2. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1968.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел, М.: Наука.

5.3. Дополнительная литература.

3. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999.

* Не более 10 источников.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2. Линейная алгебра. М., ФМЛ, 2000.

5. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика, М.: Мир, 1999.

Задачники

6. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, М.: Наука, 1987.

7. Кострикин А.И. (ред.) Сборник задач по алгебре, М.: Факториал, 2001.

6. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Рекомендуется еженедельно выполнять домашнее задание. В качестве подготовки к семинару прочитывать и разбирать последние лекции.

Текущий контроль. В течение семестра выполняются контрольные работы и принимаются коллоквиумы. Выполнение указанных видов работ является обязательным для всех студентов, а результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете.



Похожие работы:

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Математических Методов Прогнозирования ДИПЛОМНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА 517 ГРУППЫ Автоматическая сегментация изображений рукописных документов Выполнила: студе...»

«Министерство общего и профессионального образования Ростовской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Ростовский-на-Дону государственный колледж связи и информатики» (ГБПОУ РО «РКСИ») УТВЕРЖДАЮ Директор ГБПОУ РО «РКСИ» М.Б. Стрюков 2015г. ПРОГРАМ...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Вычислительные методы в дискретной математике №4(22) УДК 519.863 АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ВЕБЕРА ДЛЯ ПРОСТОГО ЦИКЛА Р. Э. Шангин Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Россия E-mail: shanginre@gmail.com...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра информатики О.И. Костюкова ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Учебное по...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в магистра...»

«2 Виктор Минкин Санкт – Петербург РЕНОМЕ УДК 159.938:004 ББК 88.3 М61 Минкин В.А. М61 Виброизображение / В.А.Минкин. – СПб.: Реноме, 2007. – 108 с.: ил. ISBN 978-5-98947-074-7 В монографии представлены результаты исследования и прим...»

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Математических Методов Прогнозирования ДИПЛОМНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА 517 ГРУППЫ Трекинг объектов на видео при помощи фильтра частиц Выполнил: студент 5 курса 517 группы Нижибицкий Евгений Алексеевич Научный руководитель: д.ф-м.н.,...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ Декан факу...»

«I. ИНФОРМАТИКА УДК 519.68: 681.513.7 КАК ОЦЕНИТЬ НАДЕЖНОСТЬ АЛГОРИТМА КЛАССИФИКАЦИИ. II. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ С.И. Гуров факультет ВМиК МГУ им. Ломоносова, г.Москва, Россия e-mail: sgur@cs.msu.su, gurov@...»





















 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.